格裡爾在“作為情境模型的乘除法”一文中指出:為了使純形式的推廣在直觀上能夠被接受,必須輔以一些具體情境,在其中所說的推廣可以被認為十分必要和完全合理的。對于乘除法意義本身而言,其内容是很枯燥的,但它植根于現實的沃土,意蘊豐富。
在小學階段,乘除法的現實模型大緻有以下幾種:
①等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下,兩個因數的地位并不完全對稱(單位不相同),也就是過去所說的“每份數”、“份 1 數”。從而,也就有兩種不同的除法逆運算,即通常所說的“平均分”、“包含除”。
②倍數問題。如“某種飲料中水的含量是果汁含量的3倍,現有果汁20千克,問需加配多少千克的水?”
③配對問題。如“4個男孩與3個女孩出去遊玩,如果選出1個男孩與1個女孩外出購物,問一共有多少種選取方法?”這也是“搭配問題”。
④長方形的面積。如“已知長方形長10厘米,寬是3厘米,問長方形的面積是多少?”
按照格裡爾的觀點,在後兩種情況下,兩個因數的位置是完全對稱的。還有研究者将乘法模型概括為:等量組的聚集、矩形模型、映射模型、配對模型和倍數模型,并認為最基本的是第一種模型,其他幾種都可以轉化為第一種。此外,還有速度——時間模型、單價——數量模型、工作效率——時間模型、密度——體積模型。這幾種模型在第一學段均已出現,但在學生頭腦中的印象是淺顯的、零散的,僅限于正整數,且并未形成對乘法意義的階段性完整認識。
随着學生數概念的發展,相應的乘法意義應與其相互促進。在教學中,教師仍應努力豐富學生頭腦中的乘除法意義原型,提高其對意義的表征能力。
在五年級(上冊)“小數乘法”單元,教師可以設計這樣的問題:請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義(“新課程标準”非常提倡這樣的訓練,從一年級開始就建議老師進行這方面的訓練)。
對于如何表示“1.3×5”的意義,經過充分的思考、讨論、交流,學生會産生很多想法:如購物、長度、質量、面積等數學問題,如畫實物圖或線段圖,如用文字或加法算式直接說明。
以分數乘法的教學為例,教師在教學中可出現這樣一組情境:
①我的繩子長1/3米,小明的繩長是我的3倍,小明的繩子有多長?
②我的繩子長3米,小明的繩長是我的1/3,小明的繩子有多長?
引導學生通過畫圖、讨論得出算式,反饋時,教師适時追問:都是1/3×3,表示的意義相同嗎?這就引發學生的思維沖突:如果說第一題可用“3個1/3 ”解釋,那麼後一題顯然不能,這題的意義又該怎樣表述?這樣,在對同一算式不同含義的挖掘中,學生很直接地感受到隻用以前的“同數連加”的乘法意義已不足以解釋分數乘法出現的新問題,産生了認知沖突,有了擴展新含義的需要。
小數點兒說:小學階段乘除法意義的教學應着力在階段性與發展性之間尋求平衡。換言之,對于任何數學概念的教學,教師都要立足于學生的思維狀态,關注其對概念的不斷更新、發展、重構,及時排除概念發展中的障礙,從而達成概念教學效果的最大化。
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