有關圓的證明與計算涉及到的主要知識點有圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形、

特殊四邊形的判定與性質、特殊三角形的性質、全等與相似三角形的判定與性質等．

本節主要對其相應的題型總結歸納如下：

類型一、切線的性質

【例題1】如圖，已知 AB 是⊙O 的直徑，P 是 AB 延長線上一點，PC 與 ⊙O 相切于點 C，

過點 C 作 CE⊥AB，交⊙O 于點 E，垂足為點 D.

(1) 求證：∠PCB＝∠BAC；

(2) 過點 B 作 BM∥PC 交 ⊙O 于點 M，交 CD 于點 N，連接 AM .

① 求證：CN＝BN；

② 若 cos P = 4/5 , CN = 5 , 求 AM 的長 .

例題1圖

【參考答案】

(1) 證明：如解圖1 所示，連接 OC，交 BM 于點 F .

解圖1

∵ PC 是⊙O 的切線，

∴ OC⊥PC .

∴ ∠PCO＝90°.

∴ ∠PCB＋∠BCO＝90°.

∵ AB是⊙O的直徑，

∴ ∠ACB＝90°.

∴ ∠ACO＋∠BCO＝90°.

∴ ∠PCB＝∠ACO.

∵ OC＝OA，

∴ ∠ACO＝∠BAC.

∴ ∠PCB＝∠BAC.

(2)

例題1圖

① 證明：

∵ BM∥PC，

∴ ∠CBM＝∠PCB.

∵ CE⊥AB，

∴ ︵BC＝︵BE .

∴ ∠BAC＝∠BCE.

∵ ∠PCB＝∠BAC，

∴ ∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.

∴ CN＝BN.

② 解：

例題1圖

∵ BM∥PC，

∴ ∠MBA＝∠P.

∴ cos ∠MBA＝cos P＝4/5 .

在 Rt △BDN 中，

cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，

∴ BD＝4.

∴ CD＝CN＋ND＝8.

在 Rt △OCD 中，設 OC＝r，

則 OD＝OB－BD＝r－4.

由勾股定理，得 OC2＝OD2＋CD2，

即 r2＝(r－4)2＋8^2 .

解得 r＝10.

∴ AB＝2r＝20.

∵ AB 是直徑，

∴ ∠AMB＝90°.

在 Rt △ABM 中，cos ∠MBA＝BM / AB ＝4 / 5，AB＝20，

∴ BM＝16 .

類型二、切線的判定與性質綜合——雙切線模型

【例題2】如圖，PB 與 ⊙O 相切于點 B，過點 B 作 OP 的垂線 BA，垂足為點 C，交 ⊙O 于點 A，

連接 PA，AO，AO 的延長線交 ⊙O 于點 E，與 PB 的延長線交于點 D.

(1) 求證：PA 是 ⊙O 的切線；

(2) 若 tan ∠BAD＝2 / 3，且 OC＝4，求 BD 的長．

例題2圖

【參考答案】

解：

(1) 如解圖 1 所示，連接 OB，則 OA＝OB .

解圖1

∵ OP⊥AB，

∴ AC＝BC.

∴ OP 是 AB 的垂直平分線．

∴ PA＝PB.

在 △PAO 和 △PBO 中，

∴ △PAO ≌ △PBO ( SSS )．

∴ ∠PAO＝∠PBO.

∵ PB為⊙O的切線，B 為切點，

∴ ∠PBO＝90°.

∴ ∠PAO＝90°，即 PA⊥OA .

∴ PA 是 ⊙O 的切線．

(2) 如解圖 2 所示，連接 BE .

解圖2

在 Rt △AOC 中，

tan ∠BAD＝tan ∠CAO＝OC / AC＝2 / 3，且 OC＝4，

∴ AC＝ BC = 6 .

∵ PA⊥OA，OP⊥AB，

∴ ∠PAC＋∠OAC＝90°.

∴ ∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.

∴ ∠APC＝∠OAC .

∴ △PAC∽△AOC.

∴ PC / AC＝AC / OC，即 PC / 6 ＝ 6 / 4 .

解得 PC＝9 .

∴ OP＝PC＋OC＝13 .

解圖2

在 Rt △PCB 中，由勾股定理得，

∵ AC＝BC，OA＝OE，

∴ OC 為 △ABE 的中位線．

∴ BE＝2OC＝8，OC∥BE

.∴ △DBE∽△DPO .

∴ BD / PD = BE / PO ,

類型三、切線的判定與性質綜合——切割線模型

【例題3】如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一點，

過 B，C，D 三點的 ⊙O 交 AB 于點 E，連接 ED，EC，點 F 是線段 AE 上的一點，連接 FD，

其中 ∠FDE＝∠DCE .

(1) 求證：DF 是 ⊙O 的切線；

(2) 若 D 是 AC 的中點， ∠A＝30°，BC＝4，求 DF 的長．

例題3圖

【參考答案】

(1) 證明：如解圖 1 所示，連接 BD.

解圖1

∵ ∠ACB＝90°，點 B，D 在⊙O上，

∴ BD 是 ⊙O 的直徑．

又 ∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，

∴ ∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即 ∠BDF＝∠ACB＝ 90° .

∴ DF⊥BD .

又∵ BD 是 ⊙O 的直徑，

∴ DF 是 ⊙O 的切線．

(2) 解：

解圖1

∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴ AB＝2BC＝8.

∵ 點 D 是 AC 的中點，

∴ AD＝CD＝1/2 AC＝2√3 .

∵ BD 是 ⊙O 的直徑，

∴ ∠DEB＝90°.

∴ ∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.

∴ DE＝1/2 AD＝1/2 × 2√3＝√3 . （∠A = 30°）

解圖1

在 Rt △BCD 中，

在 Rt △BED 中，

∵ ∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，

∴ ∠FDE＝∠DBE.

∵ ∠DEF＝∠BED＝90°，

∴ △FDE∽△DBE .

∴ DF / BD = DE / BE , 即 DF / 2√7 = √3 / 5 ,

∴ DF＝2√21 / 5 .

類型四、三切線模型

【例題4】如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，AB⊥BD，AC 與 ⊙O 相切于點 A，點 E 為 ⊙O 上一點，

且 AC＝CE，連接 CE 并延長交 BD 于點 D.

(1) 求證：CD 為 ⊙O 的切線；

(2) 連接 AD，BE 交于點 F，⊙O 的半徑為 2，當點 F 為 AD 中點時，求 BD 的長．

例題4圖

【參考答案】

(1) 證明：如解圖 1，連接 OC，OE .

解圖1

∵ AB 是 ⊙O 的直徑，AC 與 ⊙O 相切于點 A，

∴ ∠OAC＝90°.

在 △ACO 和 △ECO 中，

∴ △ACO ≌ △ECO ( SSS )．

∴ ∠OEC＝∠OAC＝90°.

∴ OE⊥DC.

∴ CD 為 ⊙O 的切線．

(2) 解：如解圖 2 所示，連接 OF，AE，過點 F 作 FG⊥BD 于點 G .

解圖2

∵ AB⊥BD，

∴ ∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.

∴ FG∥AB .

∴ ∠ABF＝∠BFG.

∵ AB 是 ⊙O 的直徑，

∴ ∠AEB＝∠FGB＝90°.

∴ △ABE∽△BFG .

∴ AB / BF ＝BE / FG .

解圖2

∵ 點 F 為 AD 中點，O 為 AB 中點，

∴ OF∥BG .

易證四邊形 OFGB 是矩形．

∴ FG＝OB＝2.

∵ AB 是 ⊙O 的直徑，AB⊥BD，

∴ BD 是 ⊙O 的切線．

由 (1) 知 CD 是 ⊙O 的切線，

∴ DB＝DE.

∴ ∠DEB＝∠DBE.

∵ ∠ABD＝90°，點 F 為 AD 中點，

∴ BF＝FD.

∴ ∠DBE＝∠FDB.

∴ ∠FDB＝∠DEB.

解圖2

又 ∵ ∠FBD＝∠DBE，

∴ △FBD∽△DBE .

∴ BF / BD＝BD / BE .

∴ BD2＝BF·BE.

設 BF＝a，BD＝n.

∵ △ABE∽△BFG，

∴ AB / BF = BE / FG ,

∴ 4 / a = BE / 2 ,

∴ BE = 8 / a ,

∵ BD2＝BF·BE，

∴ n2＝a · 8 / a .

∴ n2＝8 .

∴ n＝2√2 ( 負值舍去 )．

∴ BD 的長為 2√2 .

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!