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關于“空氣中自由釋放的籃球能向上運動^*嗎？”的讨論

^*注：這裡及本文以下所謂的“向上運動”，不特指籃球“豎直向上運動”，而是指籃球在運動過程中的速度出現豎直向上的速度分量

序 言

在近期剛剛結束的2020年北京市高考中，物理卷第14題以從高處釋放旋轉籃球的生活場景為素材，通過提供新信息（空氣阻力和偏轉力的方向及大小），讓學生結合已有的知識及方法（機械能轉化、力與運動的關系及受力分析）判斷并推測籃球在空中的運動情況。問題原文如下：

14.在無風的環境，某人在高處釋放靜止的籃球，籃球豎直下落；如果先讓籃球以一定的角速度繞過球心的水平軸轉動（如圖）再釋放，則籃球在向下掉落的過程中偏離豎直方向做曲線運動。其原因是，轉動的籃球在運動過程中除受重力外，還受到空氣施加的阻力

A.k₁、k₂是與籃球轉動角速度無關的常量

B. 籃球可回到原高度且角速度與釋放時的角速度相同

C. 人站得足夠高，落地前籃球有可能向上運動

D. 釋放條件合适，籃球有可能在空中持續一段水平直線運動

該問題所描述的現象如圖1中所示。首先對于題目中的A選項，由題目信息可知，不旋轉的籃球下落不會受到垂直于運動方向的力而發生偏轉，所以f₂的産生與球的轉動密不可分。因此k₂與角速度有關，但僅從題目信息中無法得到該力産生的本質原因以及與角速度的具體關系。

圖1 旋轉籃球在空氣中下落的運動情況

題目中的B選項考察了學生對于空氣阻力做功時能量轉化過程的理解，由于機械能減少，籃球無法回到初始高度（本文2.1節的研究表明，如果忽略空氣阻力的作用，籃球會做周期性運動，并可以回到初始位置。而空氣阻力矩對其轉動的影響請參見2.5節）。

對于問題中C選項所提到的籃球向上運動的可能性，如果從定性的角度分析這一現象，在籃球下落的過程中，由受力分析可知，随着速度不斷增大，籃球受到f₁和f₂的合力沿豎直方向的分力可能會出現比重力大的情況，故而可使籃球豎直方向的分速度減小為零或變成豎直向上，所以籃球可能向上運動。圖2中描繪了自由釋放的旋轉籃球在給定不同旋轉速度時的運動軌迹，可以看到随着轉速的增加，籃球在相同豎直位移（y軸）對應的橫向（x軸）位移越大，且會出現在豎直方向上做往複運動的情況，繪制該圖的理論讨論請參考2.3節。

圖2 轉速不同時籃球運動軌迹的變化

（理論計算圖像）

而對于D選項所提到的“持續水平直線運動”，如果籃球的速度變成水平方向，則空氣阻力的作用會使籃球速度減小，則籃球受到的偏轉力f₂将變小，不能保持f₂與重力持續等大反向，所以不可能在空中持續一段水平直線運動。

可見，高考中這一問題的設置很好地考察了學生的科學思維，在引導學生從物理學視角認識和理解生活現象方面起到了很好的促進作用。同時這種現象并不僅限于籃球，它在其它任何涉及球類的運動中都很普遍，例如足球中的香蕉球、電梯球等，以及乒乓球的各類旋球技法^[2，3]中。為了進一步挖掘這一現象背後的物理原理，本文将從如下幾個方面展開讨論：

• 轉動的球形物體所受到的偏轉力是如何産生的？與物體的角速度有何關系？

• 哪些因素會影響球體的運動軌迹，将如何影響？

• 要想實現題目中C選項所提及的球體向上運動的現象，除了要滿足“足夠高釋放”的條件外，是否還需要滿足其它條件？

• 籃球雖不可能在空中持續一段水平直線運動，但其在空中的運動是否會像雨滴的收尾速度一樣最終存在一個穩定運動的狀态？

01 馬格努斯效應及其簡要證明

1672年，牛頓在劍橋觀看一場網球比賽時觀察到，上旋球會使球的下降速度更快。與此相反，下旋球會使球小距離地輕輕向上移動和漂移。1852年，德國物理學家海因裡希·馬格努斯提出: 當旋轉物體的角速度矢量與其質心速度矢量不重合時，在與這兩個矢量所在平面相垂直的方向上将産生一個橫向力，導緻物體飛行軌迹發生偏轉，即著名的馬格努斯效應^[1]．可見，由于馬格努斯效應所産生的橫向力即為籃球問題中的偏轉力。

圖3 馬格努斯效應示意圖

馬格努斯效應的産生可以用伯努利原理來解釋。如圖3所示，考慮一個半徑為r的球相對于流體以速度v向右運動，流體即以速度v相對球體向左運動。當球以角速度ω順時針旋轉時，其上下表面的速度方向不同。由于球的旋轉，和其表面與流體的黏滞作用，其下端流體會因為球同方向運動的拖拽而加速；相反，球上端流體的速度會因為球反向旋轉的阻礙而減小。因此，上下表面形成了由于流速差導緻的壓強差，由此産生了不為零的壓力合力。這個力與球的轉速方向垂直，也與相對流體的運動方向垂直，方向從流體經過球表面流速慢的一端指向流速快的一端。簡單來看，球上端和下端的流體速度v_u和v_d可以表示為

(1)

利用伯努利方程，并忽略上下表面由于勢能變化帶來的壓差，我們有

(2)

這裡p_u和p_d是球上下表面的壓強，ρ是流體密度。聯立（1-2）式，可以得到

(3)

顯然，這一壓強差正比于轉速，當轉速為0時，壓強差消失。進而，從量綱分析的角度，這一由物體轉動帶來的壓強差在物體表面作用所帶來的壓力合力即為

(4)

其中S是球的橫截面積。上式中力的具體形式可以進一步寫為F=Cρωr3 v，這裡C是比例系數，可以在球表面經過面積分得到^[4-6]。需要注意的是，常系數C還取決于流體在旋轉物體表面的流動狀态，因此不同形狀以及表面粗糙程度不同的物體具有不同的系數C，對于其求解過程，這裡不再展開讨論。但是這一系數的具體值，不影響（4）式得到的力關于轉速ω、運動速度v的依賴關系。

（4）式得到的力即為馬格努斯力，可以簡寫為

(5)

其中比例系數

(6)

與球的轉速、空氣密度、體積成正比。從這一推導中可以看到，馬格努斯效應是伯努利原理的一個直接結果，與物體的轉動和相對流場中的平動密不可分。總的來說，這一由于物體轉動帶來的垂直于物體平動方向的力會導緻物體的軌迹相比于未轉動的情況下更複雜，也會出現更豐富有趣的運動特征和軌迹。如圖4所示，一個旋轉着水平抛出的圓柱，會向上運動，而不是呈現出通常平抛運動的軌迹，這就體現了馬格努斯效應對旋轉物體運動軌迹帶來的影響。

圖4 旋轉的紙筒在空中的飛行軌迹

可見，隻要能夠讓柱體保持旋轉，同時借助螺旋槳帶動其前進提供一個平動速度，便可用來制造飛行器，如圖5所示.

圖5 利用馬格努斯效應制作的航模

除此之外，馬格努斯效應在船舶的推進裝置中也有着廣泛的應用。如圖6所示的“Viking Grace”号就是通過安裝圓柱形轉子帆利用馬格努斯力推進的客船。它利用發動機驅動轉筒自轉，使其逆風一側表面的氣壓增大，順風一側表面的氣壓降低，從而産生一個垂直于氣流方向的橫向力。通過調整轉筒的轉速和旋轉方向，可以調節帆體受力的大小和方向，從而為船舶提供前進的推力^[7]。綜合來看，在燃料節省與環境排放壓力日趨增大的情況下，轉子輔助航行技術具有一定的應用前景。

圖6 全球第一艘采用轉子帆技術的客船——"Viking Grace"号

02 旋轉物體的運動軌迹:

馬格努斯效應的影響

在下面的研究中，我們具體考慮一個無質心初速度且有穩定旋轉速度的球體在空氣中自由釋放後的運動。運動過程中其質心平動速度為v，球體繞質心旋轉速度為ω.

圖7 空中飛行的球形物體的受力示意圖

如圖7所示，簡便起見，我們考慮在空中運動的一半徑為r，密度為ρ_b，體積為V=4πr³/3的旋轉球體。在豎直方向，該球體受到向下的重力mg與向上的浮力ρ_agV，這兩個力大小恒定與球的運動狀态無關，這裡ρ_a是空氣密度。此外，球體受到與運動方向相反的空氣阻力f₁=k1 v²，以及在垂直于運動方向球體受到馬格努斯效應産生的壓差帶來的馬格努斯力f=2 k2 v。考慮球體在x-y平面内的運動，可以列出如下兩個運動方程

(7)

(8)

其中θ是球運動方向與x軸夾角，滿足

(9)

聯立（7-9）式，可以得到

（10）

(11)

對于球體而言，空氣阻力系數和馬格努斯力系數分别為

(12)

這裡我們取了（6）式中的C=π²/2^[4]，利用上面的關系以及球的質量m=ρ_bV=4πρ_br³/3，（10-11）式可以化簡為

(13)

(14)

其中系數

(15)

這裡

是空氣與球體的密度比。實際上，在球運動的過程中，空氣會給球一相對質心的力矩從而影響球的轉速，進而改變系數

并影響球的質心運動。簡便起見，在本文2.1-2.4節的讨論中，我們隻關注球的質心運動，而不考慮球轉速的變化，即将球的轉速視為一定值。考慮轉速由于空氣阻力矩導緻的衰減而對球運動軌迹的影響将在2.5節中給出。

顯然，根據（15）式，若

，則

，

，且

，此時球體的運動方程（13-14）近似為自由落體的運動方程，空氣阻力和馬格努斯效應不明顯。因此要想明顯看到馬格努斯效應或空氣阻力的效應，需要球體的密度不太大，這也是演示馬格努斯效應的實驗通常采用空心球或氣球等密度較小物體的原因。接下來，我們首先讨論兩種極端條件下的運動情況。

2.1 馬格努斯力系數k₂遠大于空氣阻力系數k₁

當k₂>>k₁，也就是球的轉速ω很大時，可以忽略空氣阻力的影響，而隻考慮馬格努斯效應。進而球的運動方程可以簡化為

(16)

(17)

求解這一組微分方程，可以得到球的運動軌迹滿足

（18）

利用Matlab作出球的運動軌迹如下：

圖8 忽略空氣阻力情況下豎直方向自由釋放的旋轉球體的運動

圖8表示，在空氣阻力相比馬格努斯力可以忽略的情況下，球在運動過程中能量幾乎不耗散，且在x-y平面内做周期運動。由（15）式可以看出，這種情況下球上下震蕩的頻率為

，即球旋轉速度越快，球相對于空氣的密度越小，這一震蕩運動也越快。

2.2 長時間後的穩定運動：勻速直線運動

觀察圖7中的受力分析不難發現，球在運動過程中可能存在一種穩态運動：即受力平衡下的勻速直線運動。這種情況下，球的受力平衡方程為

(19)

(20)

這裡，θ_s和v_s分别代表球在受力平衡狀态下飛行方向與水平面的夾角和質心運動速度。聯立上述方程組可以解得

(21)

（22）

其中系數

(23)

我們将受力平衡狀态下球體速度與水平面的夾角θ_s和運動速度v_s分别稱作收尾角度和收尾速度，并在圖9中分别給出了随着轉速增加時θ_s和v_s的變化趨勢（按照籃球的參數取值進行計算，取半徑r=0.123m，質量m=0.6kg，空氣密度ρ_a=1.29kg/m³，重力加速度g=9.8m/s²）。

圖9 空氣中旋轉球體的收尾角度θ_s與收尾速度v_s随球轉速的變化

從圖9可以看出，随着轉速的增加，球體收尾角度和收尾速度均減小，且收尾角度随着速度的增加減小得更快。這表明，當球體轉速越來越大時，球釋放後最終的穩态運動接近一種在水平方向的漂移運動（與水平方向夾角非常小），因而可以在水平方向有較大的移動距離。

特别地，當球轉速ω=0，球的運動不會偏轉，最終會在空氣阻力的作用下達到勻速狀态。此時，μ→0，根據（15）式，收尾角度θ_s=π/2, 即豎直下落；另外，根據（16）式，收尾速度為

(24)

這與直接計算空氣阻力和重力作用下球體的收尾速度一緻^[8]。

2.3一般情況下的運動軌迹

除了上面讨論的兩種特殊情況，球的運動方程（13-14）沒有一般的解析解。利用Matlab在不同的轉速條件下求解（13-14）式，在圖10中我們得到了若幹有不同特征的軌迹。圖10中計算所用參數與圖9一緻。

2.3.1無水平初速度釋放籃球

←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→

←c. ω=20π/s d.ω=30π/s→

圖10 無水平初速度自由釋放旋轉籃球在空氣中的軌迹

圖10中，藍色實線是Matlab數值求解球體動力學方程（13-14）式得到的解，紅色虛線是2.1節中（18）式給出的不考慮空氣阻力的解析解。球的轉速在圖10（a-d）中分别為ω=10π/s，17π/s，20π/s，30π/s.可以看到，在剛釋放的一小段範圍内，由于運動速度不大，空氣阻力較小，藍線與紅色虛線幾乎重合。随着運動速度的增加，空氣阻力由于與速度二次方成正比而明顯增大，從而使得藍線與紅線偏離。

另外，對比圖10c和圖10d可以看到，轉速越大，球體在豎直方向上出現下降-上升的運動階段越多。圖10還表明，在運動的末期，球的軌迹趨于一直線，這與2.2節中給出的球的受力平衡解相吻合，此時球會做勻速直線運動直至落到地面。

同時注意到，随着球轉速的增加，球體可能在下落的過程中出現反向上升，如圖10c和圖10d所示，即本文開頭所述北京高考物理卷14題C選項所給出的運動情景。具體分析球上升運動的條件，如圖11所示。

←a. 運動軌迹 b. 豎直方向運動速度→

圖11 無水平初速度自由釋放旋轉籃球在空中出現上升運動的臨界條件

在圖11中，我們繪出了轉速分别為9r/s和8r/s籃球的運動軌迹（a）和豎直方向運動速度随時間的變化（b）。從運動軌迹可以看到，籃球是否出現上升運動的的轉速臨界點介于8r/s到9r/s之間。從圖11b可以看出，轉速為9r/s的籃球在扔出後5s左右，出現了y軸正方向的速度，即向上運動，而轉速為8r/s的籃球沒有出現v_y>0的部分。同時，觀察圖10a，可以發現籃球向上運動臨界點對應的豎直方向位移介于15-20米之間。因此，要想實現文章開頭題目所述C選項的情景，需要抛擲籃球的離地高度至少在15m以上，同時旋轉速度需要大于8r/s。

2.3.2 以一定水平初速度釋放籃球

圖12給出了自由釋放v_x(0)=0m/s（藍色實線）和以一定水平初速度v_x(0)=20m/s（橘色實線）抛出的旋轉球的運動軌迹的對比。球的轉速在圖12（a-d）中分别設定為ω=10π/s，17π/s, 30π/s, 80π/s.

←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→

←c. ω=30π/s d. ω=80π/s→

圖12 水平抛出的旋轉籃球在空氣中的軌迹

從圖12中可以看出，在初始角速度相同時，相比于無水平初速度的情況（對比圖12b中的橘線和藍線），當籃球以一定水平初速度釋放時，初始時豎直方向的馬格努斯力會出現大于球重力的情況，此時球開始“擡頭”，即向上運動，運動到最高點後才開始下落。且當轉速增大時，球的運動變得複雜，此時球會由于馬格努斯力和空氣阻力的共同作用在空中多次上升回落，甚至出現類似螺旋線的運動，如圖12c與12d所示。

2.4 圓周運動和螺旋運動

值得一提的是，在旋轉球運動的所有軌迹中，會出現做圓周運動和螺旋運動的情況。當所抛擲球密度與空氣等大時，即ρa=ρ_b，球在豎直方向所受重力與浮力平衡，也就是g'=0。此時，球運動方程（13-14）式化為

(25)

(26)

進一步地，若忽略空氣阻力，則球隻受到馬格努斯力的作用，且總垂直于速度方向。不難推斷這種情況下，球将在馬格努斯力的作用下做勻速圓周運動，如圖13 所示。

圖13 帶自轉球體在僅受馬格努斯力的作用下做勻速圓周運動

利用馬格努斯力提供向心力，容易寫出

(27)

其中R是球做圓周運動的半徑，解之得

(28)

這是一個有意思的結果，此時馬格努斯力會使得這樣一個帶自轉的球體以

(29)

的轉速做圓周運動。這一結果，在實驗上可以用水平面上的旋轉球體進行檢驗。這一運動狀态與磁場中的帶電粒子受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運動的情景類似。

另一方面，若考慮空氣阻力的作用，球體在做圓運動的同時速度會衰減，進而繞圈半徑減小，因此會呈現出螺旋線的軌迹。在圖14中，通過數值求解（25-26）式，我們分别給出了忽略空氣阻力時

和考慮空氣阻力時的旋轉球的運動。圖中計算所用球的自轉速度取ω=10π/s，球的水平抛射初速度分别取v_x(0)=10m/s（藍色實線）和v_x(0)=20m/s（橘色實線）。

←a. 無空氣阻力的圓周運動

b. 計入空氣阻力的螺旋運動→

圖14 豎直方向（y方向）所受力為0時旋轉球的運動軌迹

觀察圖14（a）可以看出，忽略空氣阻力時，球确實做圓周運動，且圓運動半徑與抛射速度成正比，這與（28）式的理論結果一緻。圖14（b）表明，計入空氣阻力後，球的軌迹是一類螺旋線，且随着抛擲速度的增加，螺旋線軌迹的尺寸增加。

2.5 空氣阻力矩的影響

在前面的讨論中，我們假定了球的轉速恒定，因此球受到馬格努斯力的系數k₂恒定，故而球所受馬格努斯力隻會因為球質心運動速度的改變而改變。但在實際的扔球情境中，球的轉速會因為空氣阻力矩的存在而衰減，這會通過影響馬格努斯力系數k₂的大小而影響球的運動，從而改變球的運動軌迹。一般來說，空氣中旋轉物體所受阻力矩與物體的轉速成正相關，最常用的阻力矩模型一般認為阻力矩與轉速的一次方或者二次方成正比，即

(30)

其中δ=1,2，k₃是空氣阻力矩的系數。将上式與（13-14）式聯立，我們可以求解轉速衰減情況下球體的運動，相應的運動軌迹在圖15中給出，球初始轉速設為ω=40π/s.

←a. 空氣阻力矩正比于轉速

b. 空氣阻力矩正比于轉速平方→

圖15 空氣阻力矩對自由釋放的旋轉球體運動軌迹的影響

由圖15可以看到，考慮阻力矩後，由于馬格努斯效應随着轉速的衰減而減弱，球在豎直方向的反向運動次數會降低。另外，對比圖15b和圖15a可以看到，當阻力矩正比于轉速平方時，豎直方向震蕩運動的衰減加劇得更為迅速。同時圖中軌迹也說明，在考慮轉速衰減後，球在同樣的豎直位移下對應的橫向移動随着轉速衰減程度的增加而減少。

03

結論

總的來說，北京2020年高考物理卷第14題從高處釋放旋轉籃球的生活場景出發，通過給定新知識，考察了考生結合已有知識，并學習應用新知識解釋物理現象、探究物理問題的能力。本文進一步分析了該題目所涉及的馬格努斯效應，并具體讨論了旋轉籃球在不同條件下釋放後在空氣中的運動軌迹，得到了以下結論：

（1）旋轉球體在空氣受到的偏轉力為馬格努斯力，可以從伯努利原理出發進行解釋并推導其具體形式，為F=Cρωr³v，與物體轉速、相對流體的速度以及物體體積成正比。利用馬格努斯效應可以制成特定結構的飛行器，也可以用于輪船上作為推進裝置節約能耗；

（2）在釋放高度合适時，當空氣阻力相比馬格努斯力可以忽略的情況下，旋轉球在平面内做上下往複的周期運動；

（3）在釋放高度合适時，旋轉球在運動過程中最終會達到勻速直線運動的狀态。且随着轉速的增加，球體在該勻速直線運動中的收尾角度和收尾速度均減小，且收尾角度随着速度的增加減小得更快；

（4）根據數值計算結果，當釋放高度至少達到15m，且球的初始轉速大于8r/s時，旋轉球在運動過程中将出現向上運動的情況；

（5）以較大的水平初速度抛出旋轉的球時，球會先向上運動；

（6）當所抛擲球密度與空氣等大，且不計空氣阻力時，旋轉球将做圓周運動。計空氣阻力時，球的軌迹是一類螺旋線；

（7）若考慮空氣阻力矩對釋放球轉動的減速效應，球在馬格努斯力作用下的橫向位移會減少。

參考文獻

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緻 謝

感謝北京師範大學物理學系趙秀花同學對本文的仔細閱讀、排版與校對，感謝首都師範大學附屬中學範鴻飛老師、北京理工大學附屬中學羅迪老師以及中國科學院大學物理學院歐仕剛同學對本文的仔細閱讀和寶貴意見！

作者介紹

趙芸赫，北京師範大學物理學系本科、碩士，現為首都師範大學附屬中學教師，研究興趣為IYPT問題解決、中學階段研究性課程設計；

馬宇翰，北京師範大學物理學系本科，中國工程物理研究院博士，研究興趣為有限系統熱力學、黑洞信息問題。

來源：京師物理

編輯：小林綠子

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