已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.
證明：
情況1：如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：∵OA、OC是半徑
圖1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC ∠ACO=2∠BAC
情況2：如圖2,，當圓心O在∠BAC的内部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑
圖2
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個内角的和）
∠COD=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個内角的和）
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=2(∠BAD ∠CAD)=2∠BAC
情況3：如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OA,OB。
圖3
解：∵OA、OB、OC、是半徑
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個内角的和）
∠DOC=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圓心角等于180度的情況呢？看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，
顯然因為∠OCA=∠OAC
=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA ∠OCB
=（∠BOC ∠AOC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOB
圓心角大于180度的情況呢？看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，
隻要延長AO交圓于點D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度
根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC
根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC
所以∠ACB ∠ADB=∠ACB ∠ADC ∠BDC
=∠ACB ∠ABC ∠BAC=180度
即∠ACB=180度-∠ADB
由情況2可知：∠AOB=2∠ADB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB
定理推論1.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。2.半圓（直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。3.圓的内接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的内對角,更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!
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