全等三角形太難了？不會添加輔助線？

在全等三角形的證明題中，經常會遇到證明“關系”的題目。“關系”一般包括“數量關系”和“位置關系”，常見的“數量關系”為相等，有些題目也考查倍數關系、和差關系；常見的“位置關系”為平行或垂直，還有一種比較特殊的關系，那就是垂直平分。本篇主要介紹“位置關系”中的垂直。證明垂直暫時有兩種方法，先介紹其中一種證明垂直常用的方法，那就是通過證明兩個銳角互餘進而證明垂直，當然有時也可以選擇利用“8”字形進行證明。

例題1：已知：如圖，在△ABD中，BC⊥AD于點C，E為BC上一點，AE=BD，EC=CD，延長AE交BD于點F．求證：AF⊥BD．



分析：先通過HL定理（斜邊—直角邊定理）證明△ACE≌△BCD，可得到∠CAE=∠CBD，由∠CAE ∠AEC=90°，∠AEC=∠BEF，推出∠CBD ∠BEF=90°。在三角形中，兩個銳角互餘，即可得到另外一個角為直角，即可證明兩條線段垂直。

本題也可借助“8”字形，通過全等可得∠EAD=∠CBD，再加上對頂角相等（∠AEC=∠BEF），即可得到∠BFE=∠ACE=90°。

證明兩個直角三角形全等需要找準判定定理，不能看到直角三角形就用HL定理，前面學習的SAS、ASA、AAS等定理也可以使用，兩個直角三角形需要滿足斜邊對應相等，和一條直角邊對應相等時才能利用HL定理證明兩個直角三角形全等。

例題2：已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，點E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于點G．求證：DE⊥AF

分析：已知△DAE與△ABF為直角三角形，本題所給的條件為AD=AB、AE=BF，兩條都是直角邊，不能用HL定理證明，應該用SAS證明兩個三角形全等。由此得到∠BAF=∠ADE，由于∠BAF ∠DAF=90°，通過等量代換得到∠ADG ∠DAG=90°，從而可以證明DE⊥AF。

如果題目中證明兩條線段的“關系”，那麼還需要證明兩條的數量關系，即證明AF=DE。

例題3：如圖，在等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°，在等腰直角三角形EOF中，∠EOF=90°，連接AE，BF．求證：AE⊥BF．



分析：兩個三角形都為等腰直角三角形可得OA=OB、OE=OF，借助“手拉手模型”可發現證明△AOE≌BOF，由∠AOB=∠EOF=90°同時減去∠BOE得到∠AOE=∠BOF（等角加減等角得等角，隐含條件之一），通過“SAS”可證明兩個三角形全等。要證明AE⊥BF，可先延長AE交BF于點D，通過證明兩個銳角互餘得到結論。

在後續的學習過程中，還會學習其它證明垂直的方法。

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