這次我們來看如何把矩陣 A 經過變換後的向量再還原回去. 觀察下面如何從變換後的向量(-1.5, 2) 還原為向量 (1, 0.5) 的過程:
注意觀察要點:
變換後線性空間還是完整的二維空間;
變換後的行列式為不等于 0;
還原後僅有一個向量與之對應;
整個還原的變換實際上對應了另一個線性變換, 稱為矩陣的逆(Inverse), 記為 A^(-1).
矩陣與它的逆矩陣相乘, 那就是先做了一次變換, 然後在還原回來, 這兩個連續的變換作用就是矩陣的乘法, 相當于什麼都沒有改變, 這個沒有進行任何改變的變換, 就是上次說提到的單位矩陣.
利用這個性質, 我們可以通過在 Ax=V 兩邊同乘 A 的逆矩陣來求出變換前的向量 x:
矩陣的逆是否一定存在?那麼問題在于逆矩陣是否一定能找得到呢? 想象當 det(A) = 0 時候, 也就是代表矩陣的變換将空間壓縮到更低的維度上, 此時沒有逆矩陣. 在二維平面中變換後空間被壓縮到原點以及被壓縮為一條直線都是不存在相應的逆矩陣. 或者說沒有辦法找到對應的映射可以将一個點或一條線還原為平面.
類似地, 對于三維空間中, 如果一個變換将空間壓縮為一個平面, 一條直線或原點, 也就是都對應 det(A) = 0 (體積為0)時, 那麼也沒有逆變換. 請看下面矩陣将三維空間壓縮為平面的情況:
對角矩陣的情況
對角矩陣對應的變換就是沿着坐标軸伸縮變換, 那麼還原就非常簡單了, 隻需要将各坐标軸伸縮為倒數倍就好了.
但注意即使不存在逆變換, 但對應的 x 仍然可能存在. 當一個變換将空間壓縮到一條直線, 但是向量 v 剛剛好就在這條直線上. 如下面矩陣 A 将空間壓縮成一條直線, (紅色)向量 v (1, 0.5) 因為恰好落在該條線上, 所以相應的 x 為 (0.25,-0.25) .
上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!
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