有理數是不可數的證明-tft每日頭條

有理數是不可數的證明

生活更新时间:2024-12-26 20:30:35

前面我們已經知道了正切函數的連分式，本篇就用連分式證明圓周率是無理數

無理數和有理數：

有理數能夠表示成兩個整數之比，包括整數，分數，無限循環小數，有限循環小數

無理數不能夠表示成兩個整數之比，如π，e，根号2 均不能表示成兩個整數之比

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）1

例如圖中對數函數是否能寫成兩個整數之比，如果可以就是有理數

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）2

可以寫成

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）3

因為3和10除了1外沒有公約數（數學上叫互質），所以他們各自的任何次方都不可能有交集，所以不能寫成兩個整數之比，所以是無理數。

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）4

對于證明π是否為無理數思路，

假設π是有理數則可以寫成兩個整數之比，那麼tan(U/V)如果是無理數，那麼連分式就有無窮多項，反之如果連分式是有限的，則U/V就是無理數。這是根據前篇文章連分數得出的結論。

圖中 1是有理數，所以π/4就是無理數

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有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）6

前一篇連分式的文章已經得出tanx的連分式

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将U/V帶入tanx，如果是無理數，就像根号3一樣，連分式有無窮多項

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）8

化簡整理

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連分數中，後一項肯定比前一項小，然後不斷延伸，所以灰色部分是大于0小于1的

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）10

因為U,V均為整數，分式會不斷趨于無窮，後面一項比一項小，所以整個着色區域都是大于0小于1的，

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）11

所以上圖整個着色部分都是無限延伸下去，tan（U/V）是無理式

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我們進一步驗證上述結論：

假設着色部分是有理數：且B/A是小于1的

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）13

得到：

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上式分子等于C，則得到

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繼續重複下去

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最終得到

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連分式最終的項不斷趨于0，且有無限多項，所以是不能表示成B/A，，也就不存在C.D,E.......

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）18

所以得到tan（U/V）的結果是無理數，反之如果tanX結果是有理數（有限的連分式），則X就是無理數

所以圓周率π就是無理數，不能表示成兩個整數之比

有理數是不可數的證明（優美的證明用連分式證明）19

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