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一道橢圓内圓的切線問題的簡證

2. 過圓E:

上的任意一點P作切線l與橢圓C:

交于兩點A、B,O為坐标原點，證明：OA⊥OB.

原解用Vita定理來求，過程繁瑣，下面用參數方程給出優解，并給出一般化垂直的充要條件：

過圓E上的任意一點P作切線l與橢圓C 交于兩點A、B,O為坐标原點，則有OA⊥OB

證明：

設圓E上一點M(rcosθ,rsinθ)，則易見直線AB:

此即

①

②

把①代入②可得

顯然OA⊥OB

這類模型高考常考，看以下兩題：

（2011年北京卷理19）已知橢圓

過點(m,0)作圓x2 y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點.

（I）求橢圓G的焦點坐标和離心率；

（II）将|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值.

【探源】我們來看天津市2006年的高考壓軸題:

（2006年天津卷理22）如圖，以橢圓

的中心O為圓心，分别以a和b為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點F(c,0)(c>b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限内的點A．連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

（1）證明c2=ab，并求直線BF與軸的交點M的坐标；

（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明

可以看出: 2011北京卷理19是2006年天津卷理22的引伸和變形.隻要删除2006年天津卷理22中的大圓,并設過B點的切線與軸交于即是2011北京卷理19的題型.

1.已知橢圓C:

(a>1) 的右焦點為F(c,0)(c>1) ，點P 在圓O:x2 y2=1 上任意一點（點P 第一象限内），過點P 作圓O 的切線交橢圓C 于兩點Q 、R ．

（1）證明：|PQ| |FQ|=a ；

（2）若橢圓離心率為 ，求線段QR 長度的最大值．

解:

2.已知橢圓

（a＞b＞0）經過點M(1,3/2)，其離心率為1/2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線l:y=kx m(|k|≤1/2)與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐标原點．求|OP|的取值範圍．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的标準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．

參考本文給出的方法,你能對上述标答的方法進行優化嗎?

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