初中幾何模型中線定理

中線定理也叫中線長定理，表述三角形三邊和中線長度關系。

三角形一條中線兩側所對邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍

如圖△ABC，AE是中線，那麼有：

AB² AC²=2AE² BC²/2

或AB² AC²=2AE² 2BE²

利用倍長中線構造平行四邊形，還可以推出平行四邊形定理

四邊邊長的平方和等于兩條對角線的平方和

下面是中線定理的訓練題目

①銳角三角形ABC中，E是BC中點，求證：AB² AC²=2AE² 2BE²

②如圖，△ABC，AB=7，BC=6，AC=5，AD是BC邊上的中線，則AD的長是( )。

③平行四邊形相鄰兩邊分别是5和6，一條對角線的長是8，則另一條對角線的長是( )。

④如圖，△ABC，AB=4，AC=2，中線AD=√6，則BC的長是( )。

⑤矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點P是線段AD上的動點，則PB² PC²的最小值是( )。

⑥平面直角坐标系中，點A(1，1)，點B(3，3)，點P是x軸正半軸上一個動點，

那麼PA² PB²的最小值是( )。

以下是練習題的答案與解析，解題方法多種多樣，僅供大家參考。

①答案：簡證如下(初中階段利用勾股定理證明)

證明：如圖作高AD，△ABD、△ADE與△ADC都是直角三角形

AB²=AD² BD²；AE²=AD² DE²；AC²=AD² CD²

且BE=CE

所以AB² AC²

=2AD² BD² CD²

=2(AE²-DE²) (BE-DE)² (DE CE)²

=2AE² 2BE²

②答案：2√7

解析：利用中線定理，AB² AC²=2AD² 2BD²

把數值代入：7² 5²=2AD² 2×3²

解得AD=2√7

③答案：√58

解析：根據平行四邊形定理，AC² BD²=2(AB² BC²)

所以BD²=2×(6² 5²)-8²=58，BD=√58

④答案：4

解析：已知兩條邊和所夾中線可以确定三角形(倍長中線構造平行四邊形，根據SSS)

根據中線定理：AB² AC²=2AD² 2BD²

把數值代入得4² 2²=2(√6)² 2BD²

解得BD=2，所以BC=2BD=4

⑤答案：200

解析：取BC的中點E，連接PE，根據中線定理

PB² PC²=2PE² 2BE²

BE是定值6，當PE最小時，即PE=8時，PB² PC²取得最小值。

最小值是2×8² 2×6²=200

⑥答案：12

解析：C是AB中點，根據三角形中線定理則有：PA² PB²=2AC² 2PC²

由于AC=√2是定值，所以隻需要PC最小即可

當PC垂直x軸時，PC有最小值2。PA² PB²的最小值是：12

※代數方法供參照。設P(x,0)，則PA² PB²=(x-1)² 1² (x-3)² 3²=2x²-8x 20=2(x-2)² 12

所以當x=2時，有最小值12。

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