專題導入

導圖：平面直角标中相應線段長的計算

AM= , BM= ,AB= ,

導例：如圖，點A的坐标為（﹣1，0），點C在y軸的正半軸上，點B在第一象限，CB∥

x

軸，且CA＝CB．若抛物線y＝a（x﹣1）2 k經過A，B，C三點，則此抛物線的解析式

為　 ．

方法點睛

二次函數圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，或一般的斜線類線段．在知識運過程中，相應坐标差來表示相應線段長，或由勾股定理依據兩點間的距離公式來計算相應斜線段長的問題是基本的操作依據．

導圖答案：，,.

導例答案：y＝﹣（x﹣1）2 　.

典例精講

類型一：平行于y軸的線段長的問題

例1．如圖，抛物線y＝x2 bx c與x軸交于點A和B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求抛物線的解析式；

（2）若點M是抛物線上在x軸下方的動點，過M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值．

【分析】（1）由點B，C的坐标利用待定系數法即可求出抛物線的解析式；

（2）設出點M的坐标以及直線BC的解析式，由點B，C的坐标利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，結合點M的坐标即可得出點N的坐标，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式，再結合點M在x軸下方可找出m的取值範圍，利用二次函數的性質即可解決最值問題．

類型二：可轉化為線段長類的面積型問題

例2．如圖，抛物線y＝x2﹣mx﹣（m 1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0）（OA＜OB），與y軸交于點C，且

滿足x12 x22﹣x1x2＝13．

（1）求抛物線的解析式；

（2）在抛物線上是否存在點Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出點Q的坐标；若不存在，說明理由．

【分析】（1）由根與系數的關系可得x1 x2＝m，x1•x2＝﹣（m 1），代入x12 x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根據OA＜OB，得出抛物線的對稱軸在

y軸右側，那麼m＝2，即可确定抛物線的解析式；

（2）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，根據三角形的面積公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那麼AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系數法求出直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．根據AC∥FQ，可設直線FQ的解析式為y＝﹣3x b，将F（1，0）代入，利用待定系數法求出直線FQ的解析式為y＝﹣3x 3，把它與抛物線的解析式聯立，得出方程組求解即可得出點Q的坐标．

專題過關

1．如圖，已知二次函數y＝ax2 bx c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

與y軸相交于點C（0，﹣3）．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）若P是第四象限内這個二次函數的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段B

C交于點M，連接PC．

①求線段PM的最大值；

②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐标．

2．如圖，抛物線y=-x2 bx c與x軸交于點A(-1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C．

(1)求b，c的值；

(2)如圖①，直線y=kx 1(k>0)與抛物線在第一象限的部分

交于點D，交y軸于點F，交線段BC于點E．求的最大值；

(3)如圖②，抛物線的對稱軸與抛物線交于點P，與直線BC交于點M，連接PB．問:在直線BC下方

的抛物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在，求出點Q的坐标;若不存在，請說明理由．

3．如圖1，抛物線y=ax2 bx 2 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=4．矩形OADC的邊CD=1，延長DC交抛物線于點E．

（1）求抛物線的解析式；

（2）點P是直線EO 上方抛物線上的一個動點，作PH⊥EO，垂足為H，求PH的最大值；

（3）點M在抛物線上，點N在抛物線的對稱軸上，若四邊形ACMN是平行四邊形，求點M、N的坐标．

4．如圖所示，在平面直角坐标系中，⊙M經過原點O，且與x軸、y軸分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）兩點．

（1）請求出直線AB的函數解

析式；

（2）若有一抛物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經過點B，求此抛物線的函數解析式；

（3）設（2）中的抛物線交x軸于D，E兩點，在抛物線上是否存在點P，使得S△PDE＝S△ABC？若存在，請求出點P的坐标；若不存在，請說明理由．

5．已知抛物線y＝﹣x2 bx與x軸交于點A，抛物線的對稱軸經過點C（2，﹣2），頂點為

M．

（1）求b的值及直線AC的解析式；

（2）P是抛物線在x軸上方的一個動點，過P的直線y＝﹣x m與直線AC交于點D，與直線MC交于點E，連接MD，MP．

①當m為何值時，MP⊥PD？

②DE DP的最大值是多少（直接寫出結果）：

6．如圖，在平面直角坐标系中，抛物線y=ax2 bx 3（a≠0）經過點A（﹣1，0）和點B（3，0）．

（1）求抛物線的解析式，并寫出點D的坐标；

（2）如圖1，直線x=2與x軸交于點N，與直線AD交于點G，點P是直線x=2上的一動點，當點P到直線AD的距離

等于點P到x軸的距離時，求點P的坐标；

（3）如圖2，直線y=﹣x m經過點A，交y軸于點C，在x軸上方的抛物線上是否存在點M，使得S△CDA=2S△ACM？若存在，求點M的坐标；若不存在，請說明理由．

答案

例1．（1）将點B（3，0），C（0，3）代入抛物線y＝x2 bx c中，

得：解得∴抛物線的解析式為y＝x2﹣4x 3．

（2）設點M的坐标為（m，m2﹣4m 3），設直線BC的解析式為y＝kx 3，

把點B（3，0）代入y＝kx 3中，得0＝3k 3，解得k＝﹣1．

∴直線BC的解析式為y＝﹣x 3．∵MN∥y軸，∴點N的坐标為（m，﹣m 3）．

∵抛物線的解析式為y＝x2﹣4x 3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物線的對稱軸為x＝2．

∴點（1，0）在抛物線的圖象上．∴1＜m＜3．

∵線段MN＝﹣m 3﹣（m2﹣4m 3）＝﹣m2 3m＝﹣（m﹣）2 ，

∴當m＝時，線段MN取最大值，最大值為．

例2．（1）∵抛物線y＝x2﹣mx﹣（m 1）與x軸負半軸交于點A（x1，0），與x軸正半軸交于點B（x2，0），∴x1 x2＝m，x1•x2＝﹣（m 1）．

∵x12 x22﹣x1x2＝13，∴（x1 x2）2﹣3x1x2＝13．

∴m2 3（m 1）＝13，即m2 3m﹣10＝0．解得m1＝2，m2＝﹣5．

∵OA＜OB，∴抛物線的對稱軸在y軸右側．∴m＝2．∴抛物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）過點Q作AC的平行線交x軸于點F，連接CF，則S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC．∴AF＝2OA＝2．∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．

∵AC∥FQ，∴設直線FQ的解析式為y＝﹣3x b．

将F（1，0）代入，得0＝﹣3 b，解得b＝3．∴直線FQ的解析式為y＝﹣3x 3．

聯立，解得

∴點Q的坐标為（﹣3，12）或（2，﹣3）．

專題過關

1．（1）将A，B，C代入函數解析式，得

解得這個二次函數的解析式y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設BC的解析式為y＝kx b，

将B，C的坐标代入函數解析式，得解得∴

BC的解析式為y＝x﹣3．

設M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）．

∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2 3n＝﹣（n﹣）2 ．

當n＝時，PM最大＝；

②當PM＝PC時，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°．

∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°．

當PM＝PC時，△CPM為等腰直角三角形，∴CP∥x軸．

設P（n，n2﹣2n﹣3），則CP＝n．∴MP＝﹣n2 3n．∴n＝﹣n2 3n．

解得n＝0（舍去）或n＝2．∴P（2，﹣3）．

當PM＝CM時，設P（n，n2﹣2n﹣3），則＝﹣n2 3n，＝﹣n2 3n．

∵n＞0，∴n＝﹣n2 2n．解得n＝3﹣．∴P（3﹣，2﹣4）．

綜上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．

2．(1)将A(-1，0)，B(3，0)代入抛物線解析式中，得解得

(2)作DN∥CF，交CB于點N，如圖①所示．

∵DN∥CF，∴△DEN∽△FEC，∴=．

∵抛物線的解析式為y=-x2 2x 3，

∴點C的坐标為(0，3) ．∴直線BC的解析式為y=-x 3．

令直線y=kx 1中x=0，則y=1，即點F的坐标為(0，1) ．

設點D的坐标為(m，-m2 2m 3)，則點N的

坐标為(m，-m 3) ．

∴DN=-m2 3m，CF=3-1=2．∴==．

∵DN=-m2 3m=-(m-)2 的最大值為，∴的最大值為．

(3)假設存在符合題意的點Q，理由如下：

∵抛物線的解析式為y=-x2 2x

3=-(x-1)2 4，

∴點P的坐标為(1，4)，直線PM的解析式為x=1．

∵直線BC的解析式為y=-x 3，∴點M的坐标為(1

，2) ．

設PM與x軸交于點G，過點G作直線BC的平行線，如圖②所示．

∵點G的坐标為(1，0)，∴PM=GM=2．

易知過點G與BC平行的直線為y=-x 1．

聯立直線與抛物線解析式得

解得或

∵平行線間距離處處相等，且點M為線段PG的中點，

∴點Q到直線BC的距離與點P到直線BC的距離相等．

故在直線BC下方的抛物線上存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，點Q的坐标為

，-

或

，-

．

3．（1）∵矩形OADC的邊CD=1，∴OA=1．而AB=4，∴OB=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

抛物線的解析式為y=a（x 1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a=2，解得a=﹣．∴抛物線解析式為y=﹣x2 x 2；

（2）抛物線的對稱軸為直線x=1，當x=0時，y=﹣x2 x 2=2，則C（0，2）．

∵EC∥x軸，∴點E與點C關于直線x=1對稱．∴E（2，2）．

∵OC=CE，∴△OCE為等腰直角三角形．∴∠COE=45°．

作PQ∥y軸交直線OE于Q，如圖1，∴∠PGH=45°．

∵PH⊥OE，∴△PQH為等腰直角三角形．∴PH=PQ．

易得直線OE的解析式為y=x．

設P（x，﹣x2 x 2），則Q（x，x）．

∴PQ═﹣x2 x 2﹣x=﹣x2x 2．

∴PH=（﹣x2 x 2）=﹣x2 x =﹣（x﹣）2 ．

當x=時，PH的值最大，最大值為；

（3）∵四邊形ACMN是平行四邊形，

∴點A向右平移2個單位可得到N點，

∴點C向右平移2個單位可得到M點，則M點的橫坐标為2，

當x=2時，y=﹣x2 x 2=2，則M（2，2）．

∴CM∥x軸，∴點N為對稱軸與x軸的交點．∴N（1，0）．

4．（1）設直線AB的函數解析式為y＝kx b（k≠0），

∵直線AB經過A（﹣6，0），B（0，﹣8），

∴由此可得解得，∴直線AB的函數解析式為y＝﹣x﹣8．

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB===10，

∵⊙M經過O，A，B三點，且∠AOB＝90°，

∴AB為⊙M的直徑．∴半徑MA＝5．

設抛物線的對稱軸交x軸于點N．∵MN⊥x，∴由垂徑定理，得AN＝ON＝OA＝3．

在Rt△AMN中，MN===4．

∴CN＝MC﹣MN＝5﹣4＝1．∴頂點C的坐标為（﹣3，1）．

設抛物線的解析式為y＝a（x 3）2 1，代入x＝0，y＝﹣8，

得﹣8＝a（0 3）2 1，解得a＝﹣1．

∴抛物線的解析式為y＝﹣（x 3）2 1＝﹣x2﹣6x﹣8．

（3）如圖，連接AC，BC．

S△ABC＝S△AMC S△BMC＝•MC•AN MC•ON＝×5×3 ×5×3＝15．

在抛物線y＝﹣x2﹣6x﹣8中，設y＝0，則﹣x2﹣6x﹣8＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝﹣4．

∴D，E的坐标分别是（﹣4，0），（﹣2，0），∴DE＝2．

設在抛物線上存在點P（x，y），使得S△PDE＝S△ABC＝×15＝1，

則S△PDE＝•DE•|y|＝×2×|y|＝1，∴y＝±1．

當y＝1時，﹣x2﹣6x﹣8＝1，解得x1＝x2＝﹣3，∴P1（﹣3，1）；

當y＝﹣1時，﹣x2﹣6x﹣8＝﹣1，解得x1＝﹣3 ，x2＝﹣3﹣，

∴P2（﹣3 ，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．

綜上所述，這樣的P點存在，

且有三個，P1（﹣3，1），P2（﹣3 ，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．

5．（1）由題意得：抛物線y＝﹣x2 bx的對稱軸為直線x＝2，

∴＝2．∴b＝4．∴抛物線解析式為y＝﹣x2 4x．∴A（4，0）．

∵C（2，﹣2），∴直線AC解析式為y＝x﹣4．

（2）①由題意得，MP⊥PD．∵PD⊥AD，MP⊥PD，

∴MP∥AD．

∴直線MP解析式為y＝x 2．

聯立方程組，或

解得P（1，3）．∵3＝﹣1 m，∴m＝4；

②如圖所示，過點C作x軸的平行線，交直線PD于點H，作PG⊥CH于點G，

∵∠HCD＝∠ECD

＝45°，CD＝CD，∠CDH＝∠CDE＝90°，

∴△CDH≌△CDE（ASA）．∴DE＝DH．則DE DP＝DH DP＝PH．

又∵Rt△PGH中，PH＝PG，∴當PG取得最大值時，DE DP取得最大值．

∵M（2，4），C（2，﹣2），∴當點P與點M重合時，PG取得最大值，最大值為4﹣（﹣2）＝6，則DE DP的最大值為6．

6．（1）當x=0時，y=ax2 bx 3=3，則抛物線與y軸的交點坐标為（0，3），

設抛物線解析式為y=a（x 1）（x﹣3）．

把（0，3）代入得﹣3a=3，解得a=﹣1．

所以抛物線解析式為y=﹣（x 1）（x﹣3），即y=﹣x2 2x 3=﹣（x﹣1）2 4，則D（1，4）；

（2）如圖1，過P作PH⊥AD于點H，．

設直線AD的解析式為y=kx p，把A（﹣1，

0），D（1，4）代入得，

解得∴直線AD的解析式為y=2x 2．

當x=2時，y=2x

2=6，則G（2，6）．

設P（2，t），則PN=PH=|t|，GP=6﹣t．

在Rt△ANG中，AN=3，GN=6，

∴AG==3．∵∠PGH=∠AGN，∴Rt△GPH∽Rt△GAN∴

∴=：，即=解得t1=，t2=．

∴P點坐标為（2，，）或（2，）；

（3）存在，理由如下：

把A（﹣1，0）代入y=﹣x m得1 m=0，解得m=1．

∵直線AC的解析式為y=﹣x﹣1，

過點D作DE∥AC，交y軸于點E，如圖2，

設直線DE的解析式為y=﹣x n．把D（1，4）代入，得﹣1 n=4，解得n=5．

∴直線DE的解析式為y=﹣x 5．

當x=0時，y=﹣x 5=5，則E（0，5）．

∴EC的中點F的坐标為（0，2）．

過點F作AC的平行線交抛物線于M，如圖2，則點M到直線AC的距離等于點D到AC的距離的一半，∴S△CDA=2S△ACM．

設直線FM的解析式為y=﹣x q．

把

F（0，2）代入得q=2，∴直線FM的解析式為y=﹣x 2，解方程組

得或∴滿足條件的M點的坐标為（，）．

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