函數是初中數學的核心内容，也是抽象、模型、對應思想的主要載體，是高中數學函數内容的基礎，函數也是數與形的自然載體，函數解析式有着代數的屬性，函數圖象和性質又有着幾何屬性，在平面直角坐标系中能實現數與形的完類結合。在數學解題教學中，某些非函數問題通過建立半面直角坐标系，巧妙運用解析法可以得到有效的解決，在平時數學中值得關注。

1.過定點問題

例1. 一節課上，數學老師在黑闆上給出了這樣一道題目：

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是斜邊AB的中點，過點D分别作BC、AC的垂線，垂足分别為E、F，G是線段AD上一點，連結EG交線段DF于點P，且DP＝1．

（1）求證：點G在以DF為直徑的圓上．

（2）若以DF為直徑的圓與線段GE相交于另一點M，求證：點M在線段BF上．

小州同學思考了幾分鐘後，有了這樣的思路：

以點F為原點，AC所在直線為x軸，DF所在直線為y軸建立直角坐标系，把點G看成是直線EP與AB的交點．

請根據小州同學的思路，完成這道題目．

【分析】本題是圓和三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質、圓周角定理、圓的定義、矩形的性質和判定、三角形中位線定理等知識，本題利用了構建平面直角坐标系這一特殊的輔助線作法，結合坐标與圖形特點，三角形和四邊形與圓的性質解決問題，并與直線的解析式相聯系；本題思路特殊，要仔細領悟．

【解答】證明：（1）如圖1，以點F為原點，AC所在的直線為x軸，DF所在直線為y軸建立直角坐标系，

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠DFC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，∴四邊形DFCE是矩形，

∴DE∥AC，DF∥BC，

∴D是AB的中點，∴DE＝DF＝1/2×6＝3，

由題意得：點D（0，3），B（3，6），E（3，3），

∵PD＝1，∴PF＝2，∴P（0，2），

設直線BD的解析式為：y＝kx b，

評注: 第（1）題證明點G在圓上，隻要證明點G到網心的距離等于半徑，若以點F為原點，AC所在直線為x軸，DF所在直線為y軸建立坐标系，那麼很容易表示出點A，B，E，P的坐标，從而求出直線AB及EP的解析式，再進一步得出直線AB及EP的交點G的坐标。而以DF為直徑的圓的圓心坐标和半徑均易求，這樣問題得解；第（2）題以DF為直徑的圓的解析式到高中才學，因此我們可以另辟蹊徑，證明EC與BF的交點即為點M，于是問題就轉化為求直線GE和BN的解析式，得出其交點K的坐标，再證明點K在圓上，于是點K就是點M第（1）小題不用解析法也可得證，但第（2）小題不用解析法顯然有困難。本題是一個幾何證明題，如果沒有原題中的提示，解題思路很難形成。這就需要平時多加積累，獲取經驗，要證明直線過定點，往往可以建立合适的坐标系，求出點的坐标及直線解析式，驗證點的坐标滿足解析式即可，幾何問題運用解析法，此題是比較典型的一例。

2. 操作性問題

例2．操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：

說明：

方案一：圖形中的圓過點A、B、C；

方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點

紙片利用率＝

×100%

發現：

（1）方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點．你認為小明的這個發現是否正确，請說明理由．

（2）小明通過計算，發現方案一中紙片的利用率僅約為38。2%．請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程．

探究：

（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設計（方案三），請直接寫出方案三的利用率．

（說明：方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點）．

【分析】此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角的性質，相似三角形與全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意數形結合思想的應用．

【解答】：發現：（1）小明的這個發現正确．

理由：解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，

∴∠BCA＝90°，∴AB為該圓的直徑；

解法二：如圖二：連接AC、BC、AB．

易證△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN，

又∵∠BCN ∠CBN＝90°，

∴∠BCN ∠ACM＝90°，即∠BCA＝90°，

∴AB為該圓的直徑；

評注：如果直接求直角三角形紙片的面積，需求兩直角邊長，純粹用兒何方法難度較大，特别是方案三，需添多條輔助線，反複利用相似三角形的判定與性質定理才能求出兩直角邊長。

不妨換種思路，注意正方體展開圖是六個小正方形，各内角均為直角，而且方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點，因此聯想到若建立坐标系的話，可表示出小正方形各頂點坐标，從而各邊所在直線的解析式也可求出，聯立解析式組成方程組就可求得三角形各頂點坐标，再把三角形面積轉化為矩形面積減去三個小直角三角面積，解起來可謂是水到渠成。

立方體展開圖實際上也可以把它看成特殊的網格圖，依托直角建立平面直角坐标系，由點的坐标得出特定的橫向、縱向線段長度，進一步求出各圖形面積，充分體現數學知識間的聯系，綜合運用數形結合、化歸思想、函數思想等。

3．網格問題

例3．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，A，E為格點，B，F為小正方形邊的中點，C為AE，BF的延長線的交點．

（Ⅰ）AE的長等于_______；

（Ⅱ）若點P在線段AC上，點Q在線段BC上，且滿足AP＝PQ＝QB，請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡要說明點P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）______________________．

【分析】（Ⅰ）根據勾股定理即可得到結論；

（Ⅱ）取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．

（Ⅱ）如圖，AC與網格線相交，得到P，取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．

故答案為：AC與網格線相交，得到P，取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．

證明：以A為原點建立平面直角坐标系，

評注：這是網格中的作圖題，學生從對圖形的直觀感知可以知道點P，Q的大概位置，但若用無刻度的直尺找到點P，Q的準确位置，有較大的難度，如果純粹用幾何方法，基本圖形不易構造，自然也就"疑無路"了，若借助于網格所提供的橫縱線之間的關系，我們可以很方便地以點A為原點建立平面直角坐标系，這下"柳暗花明"了，直接求出直線AC和BC的解析式，設點P和點Q的坐标為未知數，根據AP=PQ=QB等量關系列出方程，從而确定點P。Q的坐标及其位置，網格問題中，由于網格白身的位置及數量的特殊性，使得圖形中存在一些特殊關系，如果在網格中建立平面直角坐标系，進而可以使圖形的一般幾何性質得以特殊化和數量化，用解析法确定點的位置、直線的位置關系等等。

有些題目如果借助幾何直觀圖形未能找到解題途徑，不妨換個視角思考。以上幾個題目利用幾何圖形的特殊性質（都含有直角）建立平面直角坐标系，用解析法都很質暢地解決了，數學試題的設計常常會将幾何問題結合平面直角坐标系融入數形結合思想，從數、形兩方面合作研究幾何問題。

4. 方程不等式問題

例4．"如果二次函數y＝ax² bx c的圖象與x軸有兩個公共點，那麼一元二次方程ax² bx c＝0有兩個不相等的實數根．"請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是_________．

【分析】依題意畫出函數y＝（x﹣a）（x﹣b）圖象草圖，根據二次函數的增減性求解．

【解答】：依題意，畫出函數y＝（x﹣a）（x﹣b）的圖象，如圖所示．

函數圖象為抛物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐标分别為a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0，轉化為（x﹣a）（x﹣b）＝1，

方程的兩根是抛物線y＝（x﹣a）（x﹣b）與直線y＝1的兩個交點．

由m＜n，可知對稱軸左側交點橫坐标為m，右側為n．

由抛物線開口向上，則在對稱軸左側，y随x增大而減少，則有m＜a；在對稱軸右側，y随x增大而增大，則有b＜n．綜上所述，可知m＜a＜b＜n．故答案為：m＜a＜b＜n．

變式1.若關于x的方程x2 px q 1＝0的兩個實數根是m、n（m＜n），關于x的方程x² px q﹣5＝0的兩個實數根是d、e（d＜e），則m、n、d、e的大小關系是（　　）

A．m＜d＜e＜n B．d＜m＜n＜e C．d＜m＜e＜n D．m＜d＜n＜e

【解答】：二次函數y＝x² px q 1圖象如圖所示：

結合圖象可知方程x² px q﹣5＝0的兩個實數根即為函數y＝x² px q 1和y＝6的交點，即d＜m＜n＜e，故選：B．

變式2.已知二次函數f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b），并且α，β（α＜β）是方程f（x）＝0的兩根，則a、b、α、β的大小關系是（　　）

A．a＜α＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．α＜a＜b＜β D．α＜a＜β＜b

【解答】：設g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），則f（x）＝g（x）﹣2（a＜b），

∴f（x）＝g（x）﹣2的圖象可看做g（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的圖象向下平移2個單位．

∵α、β（α＜β）是方程f（x）＝0的兩根，a，b（a＜b）是方程g（x）＝0的兩個根∴α＜a＜b＜β，故選：A．

變式4."如果二次函數y＝ax² bx c的圖象與一次函數y＝kx b有兩個公共點，那麼一元二次方程ax² bx c＝kx b有兩個不相等的實數根．"請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若方程|x²﹣4x 1|＝a有四個解，則a的取值範圍是_______．

【解答】：∵方程|x²﹣4x 1|＝a有四個解，

∴函數y＝|x²﹣4x 1|與直線y＝a應有四個交點，

作函數y＝|x²﹣4x 1|的圖象，如圖．

由圖象知直線y＝a與y＝|x²﹣4x 1|的圖象應有四個交點，

當0＜a＜3時，有4個交點．故答案為：0＜a＜3．

【點評】此題主要考查了函數圖象與方程的解，根據直線與函數圖象交點的個數得到方程解的個數．注意利用數形結合的數學思想解決根的存在性及根的個數判斷問題．

變式5．設一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的兩根分别為α，β，且α＜β，則α，β與1，2之間的大小關系滿足________．

【解答】：設函數y＝（x﹣1）（x﹣2），

令m＝0，則（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x＝1或x＝2，

則函數y＝（x﹣1）（x﹣2）的圖象與x軸的交點分别為（1，0），（2，0），

故此函數的圖象如圖：

∵m＞0，∴y＞0，結合圖象可得：x軸上方部分符合要求，

∴α，β與1，2之間的大小關系滿足α＜1，β＞2．

故答案為：α＜1，β＞2．

評注：本題表面上是一個一元二次方程問題，但可以運用二次函數的知識，借助函數y=（x-a）（x-b）草圖，根據二次函數的增減性，由函數圖象直觀形象地得出結論，避免了複雜的計算，以形解數，把數形結合思想發揮得淋漓盡緻、本題關鍵還是在于構造二次函數，其圖象與x軸交點的橫坐标就是對應的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的解，面圖象與直線y=l的交點橫坐标就是題中方程的解，二次方程、不等式都與函數有密切的聯系，我們可以充分運用數形結合的思想方法，恰當地構造二次函數，把問題轉化為函數問題來處理，并且力求充分利用函數圖象特征、數學方法，靈活調動知識技能，創立獨特的優秀解法。

5.程序框圖問題

例5. 如圖，是一個運算流程．

（1）分别計算：當x＝150時，輸出值為_______，當x＝27時，輸出值為______；

（2）若需要經過兩次運算，才能運算出y，求x的取值範圍；

（3）請給出一個x的值，使之無論運算多少次都不能輸出，并請說明理由．

【分析】（1）分别把x＝150與x＝27代入進行計算即可；

（2）根據題意得出關于x的不等式組，求出x的取值範圍即可；

（3）根據題意列舉出x的值即可．

【解答】：（1）∵當x＝150時，3×150﹣1＝449＞365，∴輸出值為449；

∵當x＝27時，3×27﹣1＝80＜365，∴80×3﹣1＝239＜365，

239×3﹣1＝716＞365，∴輸出值為716．

故答案為：449，716；

（2）∵需要經過兩次運算，才能運算出y，

∴無論運算多少次都不能輸出．

評注：此題中程序框圖是一個循環結構，對于第（3）小題，能否給出确切的x的範圍，使之無論運算多少次都不能輸出？我們可以用一種形象、具體的方法來求這個範圍。

程序框圖的運算其實就是求代數式3x-1的值，對于x的每一個确定的值，3x-1都有唯一确定的值與之對應，因此可構造一次函數y=3x-1，建立坐标系，通過圖象法來解決。如圖12，先作出y=3x-1以

利用函數圖象解決此代數式問題，非常形象直觀！正如章建躍所說，"代數運算的過程和方法可以容易地發展成高層次函數觀點"，函數是方程、不等式的一般化，方程、不等式可以看成是函數關系中的特例，函數可看成是一個動态的過程，而方程、不等式是其中一般變化過程或某個靜态瞬間。

函數是用運動的觀點來研究數，是數之間對應的變化關系，式子的值随其所包含字母的值的變化而變化，函數正是這一變化關系的符号化表示。因此，構造函數解答有關代數式、方程及不等式的問題也是德國數學家大衛·希爾伯特認為，數學知識是一個不可分割的有機整體，它的生命力取決于各部分之間的聯系。借助于數軸及平而直角系，數量關系可以通過圖形得以直觀，而圖形關系可以通過數量關系得以精細刻畫。

正如我國著名數學家華羅庚所說："數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。"初中數學主要有四個模塊，即代數、幾何、函數、統計，圖形與幾何密不可分，而幾何與代數又緊密相通，坐标就成了這三者之間溝通的橋梁。有些代數與幾何題看似與函數不沾邊，但如果能對函數的概念、圖象及性質了然于胸，當積累了一定經驗後，解析法也就自然生成事實上，解析法也體現了《标準（2017年版）》中所說的數學學科核心素養的"三用"，坐标和圖形本身即是數形結合，這是抽象思維，是用數學的眼光看世界；坐标系中的圖形需通過邏輯推理、數學運算等發現和證明數學結論，是用數學的思維思考世界；而在一個變化過程中抽象出函數模型，建立相關知識之間的聯系，是用數學的語言表達世界。因此，解析法的巧妙運用不但為解題提供了一種新的途徑，而且對數學學科核心素養的提升也具有重要意義。

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