衆所周知，我國上個世紀的數學教材中，0不是自然數。新世紀後，教材改版，把0列為自然數。這是為何？

我來解釋一下。因為這是康托爾集合論的需要。0和其他自然數有一個共同特性：僅僅做加法和乘法運算時會封閉。

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（一）正整數N

我們知道，最早人類隻知道1,2,3,4,……這些數字。而這些數字，有一個共同的特點。那就是僅僅是做“ ”和“×”運算時，會形成一個封閉的集合，

例如：1 2=3

5×6=30

這些數字不管你怎麼加，怎麼乘，算出的結果，仍然是和自己一樣性質的數字。也就是說在這個範圍内封閉。我們把所有滿足這樣特性（僅僅做加法和乘法運算時會封閉）的數字，就是正整數，記做集合N 。 最早期的人們，認為正整數就是數字的全部。僅僅依靠1,2,3……這些數字，就已經鋪滿了數軸。

（二） 整數Z

後來随着生活水平的不斷提高，減法使用的次數逐漸提高。人們發現自然數在減法上不封閉。

例如：1-1=？

3-5=？

遇到這些問題，則直接颠覆了當時人民的世界觀。因為結果在正整數中找不到，于是發明了負數和0，來彌補這個問題。

雖然負數的廣泛接受，經曆了頗為坎坷的過程。例如法國數學家帕斯卡就認為，從3個蘋果中，減去4個蘋果，這是腦子有毛病吧，負數純粹就是胡說（關于負數問題以後有空仔細分析）。

19世紀後，負數和0的概念被廣泛接受，在“ ""×""-"三個法則下，這些數封閉。這類數字叫整數，用"Z"表示。

（三）有理數Q

然鵝，整數并沒有鋪滿數軸，平均分配物體問題，往往出現除不盡的時候，在“÷”運算中，往往會算出整數之外的新的數字。

例如：2÷3

3÷8

于是出現了分數。加上分數之後，“ ""×""-"“÷”四大運算都會封閉的範圍，整數加上分數，我們叫做有理數，記做Q。

（四）實數R

但是，後來人們發現一些數字通過開方運算時，得出的結果，仍然在有理數中找不到，例如：邊長1的正方形對角線多長？

例如 a×a=2，a=？這樣的數永遠不能寫成兩個整數的商。

于是發明了無理數。有理數和無理數，我們統稱為實數，記做R

（五）複數C

再後來，人們計算一元三次方程時，明明有正根，代入求根公式，判别式确是負數。根本無法開平方，而且負數開方這樣的數字在有理數中找不到。

例如：b×b=-1，b=？

于是發明了虛數。實數和虛數，我們統稱為複數，記做C

正是有了複數的概念，我們便可以利用““ ""×""-"“÷””“開方”乘法“”各類運算，在數學的美麗世界中縱橫馳騁，不用擔心超綱。

綜上所述：正是因為0和其他自然數一樣，僅僅在：僅僅做加法和乘法運算時會封閉。例如0 6=6 ，0×3=0，做加法乘法時，得出的結果仍然沒有跳出自己的範圍。因此，在集合的封閉性上，0和其他自然數本質上是一樣的。

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