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利用測度計算勒貝格積分

圖文更新时间:2024-07-20 08:16:44

利用測度計算勒貝格積分?關于微積分的重建，我們已經看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分，也看到了在這種新的定義下，積分和微分的概念跟以前有什麼不同沿着這條路，我們還能非常嚴格的證明微積分基本定理，也能很好地處理連續性、可微性、可導性、可積性等問題雖然在具體的計算方式上跟以前的差别不大，但是微積分的這個邏輯基礎已經跟以前發生了翻天覆地的變化，這個差别大家要仔細體會，現在小編就來說說關于利用測度計算勒貝格積分?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

利用測度計算勒貝格積分

關于微積分的重建，我們已經看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分，也看到了在這種新的定義下，積分和微分的概念跟以前有什麼不同。沿着這條路，我們還能非常嚴格的證明微積分基本定理，也能很好地處理連續性、可微性、可導性、可積性等問題。雖然在具體的計算方式上跟以前的差别不大，但是微積分的這個邏輯基礎已經跟以前發生了翻天覆地的變化，這個差别大家要仔細體會。

在魏爾斯特拉斯給出極限的ε-δ定義之後，微積分的邏輯問題基本上解決了，但還有一些其它的問題。比如，有了微積分，數學家們當然就希望盡可能多的函數是可以求出積分的，但是你像來砸場子的狄利克雷函數（x為有理數的時候值為1，x為無理數的時候值為0）就沒法這樣求積分。

不信你想想，一個在有理數為1，無理數為0的函數你要怎麼去切塊？它在任何一個地方都是不連續的，你甚至連它的圖像都畫不出來，怎麼用矩形去逼近？所以，這裡就有一個棘手的問題：一個函數到底要滿足什麼條件才是可以求積分的呢？

這個問題一直拖到20世紀初才由大神勒貝格解決。勒貝格把我們常見的長度、面積概念做了一個擴展，得到了更一般的測度的概念。然後，他基于這種測度定義了适用範圍更廣的勒貝格積分，于是，原來無法求積分的狄利克雷函數在勒貝格積分下就可以求積分了。然後，勒貝格基于測度的理論也給出了一個函數是否可積的判斷條件，完美收官！

于是，我們這段跨越兩千多年，從阿基米德到勒貝格的微積分之旅就要告一段落了。

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