我們知道奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，在這個意義上，奇偶性可看作對稱性的一種特殊情況。另外，通過與周期性的結合，會呈現出更多的對稱性（包括對稱軸和對稱中心）。下面分析以下幾種常見的類型。

一、雙對稱

如果f(x)的圖象有兩種對稱方式，則一定是周期函數。我們有如下結論：

（1）若f(x)關于x=a對稱，且關于x=b（a≠b）也對稱，則f(x)是周期函數，周期為2|a-b|；

（2）若f(x)關于點（a，0）對稱，且關于點（b，0）（a≠b）也對稱，則f(x)為周期函數，周期為2|a-b|；

（3）若f(x)關于點（a，0）對稱，且關于直線x=b（a≠b）對稱，則f(x)為周期函數，周期為4|a-b|。

另外，對稱性本身有如下結論，要牢記：

（1）若f(x)關于直線x=a對稱，則有f(x)=f(2a-x)或f(x a)=f(a-x)成立；

（2）若f(x)關于點（a，0）對稱，則有f(x)=-f(2a-x)或f(x a)=-f(a-x)成立。

解：(1) 解法1：f(x)的圖象關于直線x=-1及直線x=2對稱，故f(x)為周期函數且周期周期為6，則f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

解法2：根據f(x)的圖象關于直線x=-1及直線x=2對稱，有f(-1 x)=f(-1-x),f(2 x)=f(2-x)，則f(x)=f(-2-x)=f(6 x)，故f(x)是周期為6的周期函數，f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

(2) 解法1：f(x)的圖象關于點（-1，0）與（2，0）對稱，故f(x)是周期函數，且周期為6，則f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

解法2：根據圖象關于點（-1，0）與（2，0）對稱，得到f(x)=-f(-2-x),f(x)=-f(4-x)，則f(-x)=-f(x-2)，f(-x)=-f(x 4)，即f(x-2)=f(x 4)，得f(x)周期為6，故f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10.

(3) 解法1：f(x)的圖象關于點（-1，0）及直線x=2對稱，故f(x)是周期函數，且周期為12，則f(15)=f(3)=10.

解法2：函數y=f(x)（x∈R）的圖象關于點（-1，0）及直線x=2對稱，則f(x)=-f(-2-x), f(2 x)=f(2-x),則f(-x)=-f(x-2),f(-x)=f(4 x)，故f(x-2) f(x 4)=0,根據知識點1.2，f(x)是周期為12的周期函數，則f(15)=f(3)=10.

小結：函數關于兩條直線對稱，或關于兩個x軸上的點對稱，則周期是對稱直線或對稱中心橫坐标之差的兩倍；如果函數關于一條直線和一個x軸上的點對稱，則周期是對稱直線與對稱中心橫坐标之差的四倍。

另外，對稱和周期的表達形式很接近，記憶時容易混淆。以下推論可幫助記憶：

例2. 設函數 f(x)對任意實數x滿足f(2 x)=f(2-x)，f(7 x)=f(7-x)且f(x)=0，判斷函數f(x)圖象在區間[-30,30]上與x軸至少有多少個交點。

解：由題設知函數f(x)圖象關于直線x=2和x=7對稱，又由函數的性質得f(x)是以10為周期的函數。在一個周期區間[0,10)上，f(x)=0, f(4)=f(2 2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒為零，故f(x)圖象與x軸至少有2個交點。而區間[-30,30]有6個周期，故在閉區間[-30,30]上f(x)圖象與x軸至少有13個交點。

二、奇、偶函數的另一個對稱軸（或對稱中心）

如果定義在R上的函數是奇函數或偶函數，且有另一個對稱軸或對稱中心，則此類雙對稱函數一定是周期函數，且有如下規律：

解：(1) f(x)的圖象關于直線x=0及直線x=2對稱，可得f(x)為偶函數，且f(x)是周期函數，周期為2×2=4，則f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26.

(2) f(x)的圖象關于原點與（2，0）對稱，可得f(x)為奇函數，且f(x)是周期函數，周期為2×2=4，則f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26.

(3) f(x)的圖象關于原點及直線x=1對稱，可得f(x)是奇函數，且f(x)是周期函數，周期為4×1=4，則f(15)=f(15-4×3)=f(3)=-f(-3)=-f(5)=-26.

(4) 函數y=f(x)（x∈R）的圖象關于直線x=0及點（1，0）對稱，可得f(x)是偶函數，且f(x)是周期函數，周期為4，則f(15)=f(15-4×3)=f(3)=f(-3)=f(5)=26.

三、平移對稱

(1) 若f(x a)為偶函數，則f(x)的圖象關于直線x=a對稱；

(2) 若f(x a)為奇函數，則f(x)的圖象關于點（a，0）對稱

例4. f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數則( )

A. f(x)為偶函數 B. f(x)為奇函數 C. f(x)＝f(x＋2) D. f(x＋3)為奇函數

解:∵f(x 1)為奇函數，則有對稱中心(1,0)；同理由f(x-1)為奇函數易知f(x)有對稱中心(-1,0)。

則由雙對稱推論，f(x)是周期函數，且周期T＝2|1 1|＝4。

下面我們分析一下幾個選項。

如果f(x)是偶函數，那麼根據第二點的結論，周期為T＝4|1-0|＝4，滿足條件。

如果f(x)是奇函數，那麼根據第二點的結論，周期T＝2|1-0|＝2，則4也是f(x)的一個周期，滿足條件；

因此，f(x)可能是奇函數，也可能是偶函數，A、B排除；如果f(x)是偶函數，則周期為4，那麼C就不正确。

由于已經得到f(x)的周期為4，那麼f(x 3)＝f(x-1)，是奇函數，因此D肯定正确。

小結：本題是一道高考題。其實得到D為正确答案比較容易，但排除A，B，C會麻煩一點。其實f(x a)為偶函數，相當于将f(x)的圖象向左移動a個單位得到一個偶函數，因此x=a肯定是f(x)的一條對稱軸；f(x a)為奇函數同理。

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