有小夥伴反映，我那篇文章《你最應該了解的一個物理學秘密：為什麼狗攆包子走直線？》說得信息量有點大，不容易理解。我這裡給自己做一個辯解：雖然最小作用量原理的表述非常的簡單，但它蘊含的道理其實非常深刻，我的理解可能還不夠，所以在表達上就無法說清楚。其次是，最小作用量原理是物理學原理的原理，它本身涵蓋的内容實在是太寬泛了，如果單提某個方面，都不能完全代表最小作用量原理。所以，在我能力範圍内實在是無法用一個簡單的例子，說明涵蓋物理學全領域的深刻道理。

圖1 質點波動圖像和波動方程

本文我嘗試着，從一個嶄新的角度去重新學習物理，并且以筆記的形式整理出來，跟大家分享。這篇就作為我的第一篇吧《趣談物理與數學（函數）的關系》。我們都知道，物理裡面很多定理的表述都是用數學的函數方程或者是方程組來表示的，數學和物理的關系就好像是一對情侶。談物理就離不開數學，在分析物理和數學函數之間的關系之前，讓我們先來看一下，數學的函數都是怎麼工作的。

圖2 y=sinx，x∈[0，2π]

抛開那些數學天才不談，大多數小夥伴應該都是跟老郭一樣，從初中開始接觸函數概念的吧。在生活中遇到的各種事情，其實都有其内在的發生、發展的規律，有着随時間變化的内在因果規律的限制。如果我們能善于觀察、勤于思考，我們就可以建立很多非常有趣的函數關系，這會讓我們的生活充滿了樂趣。從而讓數學不再是一堆你不認識它，它卻認識你的數字和字母組成的“天書”，這時你就會發現，數學不再是一堆冰冷的數字和概念，而是一幅色彩缤紛壯麗畫卷。

圖3 笛卡爾心形函數

這裡我們來舉一個非常有趣的例子，通過這個例子我們可以看一下，數學是如何把看似毫無關聯的兩個事物放在一起思考的，女生的心情好壞和男生錢包的厚度。如果女生的心情不好，則男生的錢包厚度就要減小，顯然是因為男生要花錢去哄女生開心；倘若女生的心情大好，男生的錢包厚度依舊要減小，甚至男生錢包厚度的變化率更大，恐怕是因為女生開心的時候更愛購物。數學中的函數其實就是這樣，當一件事情發生了變化，會引起另一件事情跟着變化，就稱這兩件事情之間構成了一種函數關系，兩件事情之間如何相互影響，就是一個對應法則。

圖4 女生的開心與男生的錢包

函數的概念

對于函數，大學裡的說法是這樣：設x和y是兩個變量，D是一個給定的數集，如果對于每個值x∈D，變量y按照一個确定的值與x相對應，則稱y為x的函數，記做y=f(x)。稱x為自變量，y為因變量。稱數集D為此函數的定義域，定義域一般由實際背景中變量的實際意義或者函數對應法則的要求确定。

我們從函數的定義可以看出：用數學函數可以去描述世界上的萬事萬物都在不斷地運動變化發展過程，函數是研究運動變化的極端重要的數學模型，“變化與對應”是函數思想的核心内涵，所謂“變化與對應”的思想包括兩個基本意思：其一是、世界是變化的，客觀事物中存在大量的變量；其二是，在同一個變化過程中，變量之間不是孤立的，而是相互聯系的，一個變量的變化會引起其他變量的相應變化，這些變化之間存在着對應關系。

圖5 事件之間的變化與對應關系

函數的實例

我們把前面的例子量化：女生的心情指數作為自變量，記為x，并設定其範圍為[0，10]，規定x≤3表示心情很不好，4≤x≤7表示心情一般，x≥8則表示心情很好。稱相應的函數值的全體R={y|y=f(x)，x∈D}為函數的值域，我們可以把男生錢包的厚度記為y，作為因變量，它的取值範圍可以是[0， ∞]，當然了實際上，即使是土豪的錢包也是不可能無窮大的，我這裡就是抽象一下，為了方便接下來的讨論。這裡的f叫做對應法則。對于我們前面這個例子，女生心情的好壞與男生花多少錢之間如何相互“作用”、相互“影響”，是在是太複雜了，小夥伴們都明白，本文就不讨論建立這個對應法則的過程了，因為這涉及到專業的數學建模知識。

圖6 買單的男生

用函數的思想來分析物理過程

我們從前面的例子可以看出變化與對應是函數思想的核心内涵。函數不僅是貫穿于數學學習的一條主線，而且還是數學中最基礎最核心的概念，也是物理學（自然科學和工程技術）上普遍使用的一個數學概念。在使用數學函數處理物理問題的時候，我們一定要牢記：因果關系是自變量與因變量的核心關系。

圖7 變量間的因果關系

自變量是引起變化的原因，因變量是被動變化的，是變化後的結果，通常我們在使用用語言對某一個物理過程進行叙述的時候，要将因變量放在前。例如在叙述電流、電壓、電阻三者間的關系時由于電壓、電阻是自變量，電流是因變量要這樣叙述：電阻一定時，導體中的電流與這段導體兩端的電壓成正比；電壓一定時，導體中的電流與這段導體的電阻成反比。

對于一個實際的物理過程，引起因變量變化的自變量通常都是不隻一個，遇到這種情況，研究自變量與因變量之間的關系時，數學分析上常用求偏導數的方法，物理上常用控制變量法，典型的如驗證歐姆定律時就要用到控制變量法。

圖8 描述電阻、電流、電壓的函數

本文總結

我們關于數學函數在物理中的應用，本文就暫時寫到這裡，下一篇我們具體的舉幾個例子來對這個問題進行展開分析。從前文中我們可以看出，分析物理問題的靈魂是要抓住變與不變（或同與不同）的物理量都有哪些，然後再分析這些物理量之間的函數關系，另一方面物理以一個個具體的實例為數學提供了一個個具體的函數模型，物理以事實證明了數學的重要性與應用的廣泛性。數學和物理就像是科學之樹上的一對孿生兄弟，雖然各自獨立發展，但是在某些領域中，你中有我，我中有你。

感謝您的閱讀，我是老郭，跟您一樣的科學愛好者，持續為您提供優質的科普文章。

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