作者 | P.A.M.Dirac

【摘要】本文描述了數學的完美性及其在粒子物理學中的重要性。

我在物理學中研究工作的主要部分不是着跟于解決某個特殊問題，而是單純地考慮物理學家使用并試圖以一種有趣的方式拟合在一起的那些數學量，不管這種研究能否得到應用。先單純尋找數學的完美性。這個研究的應用可以放在以後完成。到那時，人們才會大獲裨益。

我來給出上述過程的一個生動的例證。在1927年，有一次我曾用3個2×2矩陣做遊戲，我 把這三個矩陣稱為,,.這些矩陣每個的平方等于單位矩陣，并且它們之間互相反對易。我注意到，如果把它們分别與動量的三個分量相乘後相加，得出，這個量的平方正好等于.這是一個激動人心的結果.然而人們能用它做些什麼呢？

我們把作為薛定谔波動方程中的哈密頓量，給出的波函數有兩個分量，以便能把矩陣作用在它上面。于是我們得到一個相對論波動方程。然而這個方程隻能用于靜質量為零的粒子。為了得到靜質量不為零的粒子的理論，我們需要四個互相反對易的矩陣，但這樣的矩陣并不存在。所以這個研究結果不适用于我最感興趣的電子。因此我不得不抛棄它。

過了幾星期後我才認識到，沒有必要把自己限于2×2矩陣，進而我用4×4矩陣使問題容易地得到解決。回顧那時人們竟如此不接受這樣一個基本觀點似乎是奇怪的。

所得到的波動方程對電子證明是非常成功的。它導緻了電子自旋和磁矩的正确數值。這是完全出乎預料之外的。然而這些結果完全來自美妙的數學研究，當時并沒有對電子給出這些物理結果的絲毫打算。

數學完美性的另一個例子是導緻了磁單極子的概念。我做這個研究工作是希望對精細結構常數得到某種解釋、然而這個希望沒有成功。數學卻無可辯駁地導緻了磁單極子。

由于數學的完美性，按照理論的觀點人們可以認為磁單極子應當存在。人們為尋找磁單極子做了許多嘗試，然而都沒有成功。人們将會得出這樣一個結論：對自然界建立一個理論時數學本身的完美性不是一個充足的理由。在探索自然界的基本原理方面我們仍然要更多地學習。

我還希望讨論我在1970年由粒子的相對論理論推動的關于數學完美性的發展。在那裡隻用一個分量的波函數代替通常四個分量的波函數。而粒子具有由兩個諧振子組成的固有自由度。把這些振子的坐标稱為，其共輔動量稱為,這四個滿足如下的對易關系(取)，

其中，是矩陣

注意，是斜對稱矩陣，并且.

現在，我們把四個看作一個列矩陣，并用表示它。我們建立下面的波動方程

其中是4×4矩陣，它的平方等于單位矩陣.這些矩陣互相反對易并且與矩陣反對易.還必須把矩陣的元素選為實數，這個波動方程在形式上與通常電子的波動方程非常相似，差别隻是用一個的列矩陣代替通常的四個分量。

在(1)式中對應于的四個分量有四個方程，由此得到的這些方程中隻有三個是獨立的。對于滿足三個獨立方程的一個函數必須适合一定的相容性條件。我們發現，假如滿足德布羅意方程(取m=1)，那麼對于内部坐标的所有值這些方程都滿足相容性條件，我們還發現，這個方程是相對論性的，同時粒子的質量必須為正。如果這理論能描述自然界中的任意一個粒子，則這些奇妙的結果會使人們感到驚奇。

人們不能讓帶電粒子以通常取替換

的方式使粒子與電磁場相互作用.因為這樣得到的方程組不再相容，正是由于受到相容性條件這樣的限制，所以幾乎沒有人去從事這種理論研究；同時我沒有找到發展這種理論的任何方法，因此沒有什麼希望使它得到應用。

最近，由蘇德森(Sudarshan)和他的同事們進行的研究工作使這種理論取得 了進展。對于a（有四個值》的每一個值有下面的替換

他們擴充了粒子的固有自由度，雖然對每一個r，如同最初描述兩個諧振子的一樣，然而對不同的r值，反對易，在這些條件下，蘇德森證明，方程組是相容的，并且仍然得到一個合理的相對論性理論。

這确實是一個引人注目的結果。它使這個理論更富于靈活性，從而使人們按照(2)式的步驟用通常方式引入與電磁場的相互作用成為可能。雖然，我們對把這種理論用于自然界中的某些粒子将抱有希望，然而還有大盤的研究工作要人們去做。

以這種途徑可能得到一個表現出新 特征的新的理論來，這是人們不能由已有理論直接推出的結果。

注：本文曾獻給1981年5月新奧爾 萊斯的洛奧拉大學；(Loyola university, New orleans)的狄拉克專題讨論會。

參考文獻

[1] Dirac, P. A. M.(1971). Proceedings of the Roy-al Sociely of London Series A, 322,435.

[2] Sudarshan, E. C. G. et. al,(19B2), Proccedings of the Royal Society of LondonSeries A. 379,103.

(陝西師範學院 郭振華譯自Interntional Journal of Th-eorfical Physics. Vol,21nos8/9，1982高能物理所郭應煥校)

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