高中剛接觸自然對數的底數 e 時就覺得這貨很奇怪。e≈2.71828…，是一個無理數，很多人都不禁要問它為什麼約等于 2.71828…，這其中有什麼深層的原理嗎，e 的神奇之處，現在我們就來簡單聊聊……

e的神奇可以從複利說起。複利是一種利息的計算方法，在存錢時把上期末的本利和作為下一期的本金，又計入下一期計算利息。比如一個銀行的年利率是 50%（目前還沒這種銀行），存100元錢，一年後的本利和是 150 元；存兩年按複利計算的本利和是 元。現在假設有一個銀行，它的年利率是 100%（這種銀行更不存在），我們存入 1 元錢，一年後的本利和是2元。我們知道存一年本利和是本金的（1 1）=2倍，則存半年效果是本利和變成本金的倍，所以若銀行每半年付利息，我們可以把利息馬上存入，1年末的本利和是元，存4個月效果是本利和變成本金的倍，所以若銀行每4個月就付利息，利息生利息，年底的本利和是元。

一年365 天，若銀行願意天天付利息，這樣利滾利的餘額2.71456748202元，假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000 秒，利滾利的餘額2.7182817813元。所以能夠發現，1元錢存1年，在年利率 100% 情況下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花闆，這個天花闆就是e≈2.71828…。用極限語言描述就是：

所以，這樣存錢即使累死也沒多掙幾個錢。

我們把自然增長率的極限稱為e,即在年利率 100% 情況下，存錢的最高本利和就是本金的e（約為2.71828…）倍。

那自然對數又是怎麼回事呢？

我們先從一個虛構的故事說起：有一土豪要去銀行存款，比如存10萬元。銀行經理推薦他投資理财産品，說有很高的年利率，然後說按照指數運算方法……，銀行經理巴拉巴拉講了一通。但土豪的數學隻有小學水平，聽不懂有點煩，就問投資多長時間能有一成收益，兩成收益，翻倍的收益？經理有點懵，這土豪不按常理出牌！一般人都是根據存款時間問收益，例如收益第 1 年多少、第 2 年多少、第 3 年多少..... 土豪居然逆向思維，根據收益問時間，多少年一成，多少年2成，多少年翻倍！不愧是老闆，不問過程，隻問結果！于是經理就從第 1 年開始算，把 10 年内每年的收益都算出來，列成一個收益列表然後再找出收益最接近一成，兩成，及翻倍的年份指給土豪，土豪一看第 4 年、第 7 年、第 10 年就大概超過預期收益，非常高興！經理用這張表查找收益，再找到最接近收益的大體年份的過程，其實就是指數運算的逆運算，是最簡單的對數運算，這個表就是對數表的簡潔形式。

為了認識對數概念，我們再來看看《人教版新課标高中數學A版必修1》第二章 2.2 對數函數小節課後閱讀材料《對數的發明》：

這應該是高中數學書上最難懂的一個課後閱讀材料，沒有數學分析基礎的高一學生很難明白其中的道理。這還要從納皮爾的經曆說起。納皮爾是天文學家、數學家，在計算行星軌道數據時，他被浩瀚的計算量所折磨。納皮爾提出對數就是為了計算的簡便。為理解對數計算的優勢，我們通過案例來了解，下面的表格裡有兩個數列：

第 1 行是自然數，他們是等差的；第 2 行是 2 的倍數，他們是等比的；要計算第 2 行的等比數列中任意兩個數的乘積，例如 16×64；先到第 1 行的等差數列中尋找對應的數，16 對應 4，64 對應 6；然後做加法，4 6=10，再查找10所對應的等比數列的數1024；這樣得到計算結果就是16×64=1024。

納皮爾不是一般人，他用了 20 年的時間，進行了數百萬次的計算，編寫了用于對數運算的對數表，堪稱耐心堅持的戰鬥機！這也是典型的犧牲了自己的頭發成就别人的頭發（不知他當年埋頭思考是否掉了許多頭發）。有趣的是，曆史不走尋常路，對數的發現居然早于指數！

1614年，納皮爾發明了對數和對數表。

1637年，法國數學家笛卡兒發明了指數，比對數晚了20多年。

1770年，歐拉才第一個指出對數源于指數，這時對數和指數已經發現一百多年了。法國數學家和天文學家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）說：一個人的壽命如果不拿他在世上的時間長短來計算，而是拿他一生中的工作多少來衡量，那麼可以說，對數的發明等于延長了人類的壽命。恩格斯曾經将解析幾何、對數及微積分并列為十七世紀數學的三個“最重要的數學方法”。

在沒有計算器的年代納皮爾的運算到底有多繁瑣呢，為理解納皮爾的艱辛，我可以舉一個例子，精确到十萬分位，手算lg2的近似值：

lg2 =0.1×lg（2^10) =0.1×lg1024 =0.1×(3 lg1.024) =0.3 0.1×lg1.024 =0.3 0.01×lg(1.024^10) =0.3 0.01×lg1.2676506 =0.3 0.001×lg(1.2676506^10) =0.3 0.001×lg10.71508607 =0.3 0.001×(1 lg1.071508607) =0.3 0.001 0.001×lg1.071508607 =0.3 0.001 0.0001×lg(1.071508607^10) =0.3 0.001 0.0001×lg1.995063117 =0.3 0.001 0.00001×lg(1.995063117^10) =0.3 0.001 0.00001×lg999.002093 =0.3010 0.00001×lg999.002093 ≈0.3010 0.00001×3=0.30103

這隻是一個對數值的計算，所以要制作一套對數表，經曆的運算可想而知，敬佩納皮爾的恒心和毅力！

我們再來看看前面納皮爾用運動觀點描述的對數定義（實際上是為底的對數，為方便理解這裡修改為以e為底的對數定義）：

如圖：若P、Q兩點分别以相同的初速度（初速度為1，每個單位時間内運動單位長度），在兩具有相同單位長度的數軸上運動.點Q沿數軸CD（C為原點）作勻速運動，CQ=x；點P沿數軸OB（O為原點）從A點開始運動，它在任何一點的速度值等于它離O點的距離（OP=y）。令P與Q同時分别從A，C出發，那麼，定義x為y的對數。這裡x其實是y的自然對數（即底數為e）,當CQ長為1時，OP長度為e。P點的運動特點是在每一點處以自己的運動路程為速度，即在P點的路程-時間（s-t）函數中，每一點的函數值為該點的變化率（速度就是路程對時間的變化率）。

函數圖象上每一點的變化率（即導數值）為該點處的函數值，而且這貨任意求導後還是它自己，永遠以自身為變化率。

現在我們知道指數和對數互為逆運算，用e做底數的對數式記作lnx，稱為自然對數。其實e和π一樣都是數學的内在規律，它反映了指數增長的自然屬性。在數學發展史上，對數運算基于對大數運算的簡化而提出，幂的乘除與指數的加減對應，幂的乘方、開方與指數的乘、除對應。感歎納皮爾等數學前輩對後世數學的貢獻，雖然對數表、對數尺現在已不再使用，但對數的思想仍具有強大的生命力！

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