39 求證：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，

40 △A’B’C’的外接圓是否經過某個定點？

41 求△A’B’C’垂心H的軌迹。

42 證明斯坦納定理：△ABC外接圓上任一點關于三邊對稱點與△ABC垂心共線。

43 抛物線的四條切線，每兩條切線交點與另兩條切線交點連線中點共線（牛頓線定理）

44 對于一般的四條直線，交成四個三角形，證明這四個三角的外接圓交于一點。這四個三角形的垂心在同一條直線上。

39 求證：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，

思路：這顯然和性質27有關。

以上三式相乘并開方即得FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’。

注：本題是性質27的推論，當然也可以直接計算證明。

40 △A’B’C’的外接圓是否經過某個定點？

思路分析一：

切線的關鍵是切點，所以可以設出三條切線的切點為A,B,C,求出切線的交點坐标，然後設出外接圓的一般方程，将坐标代入，求出系數的表達式。最後讓變量系數為0，即可求出定點坐标。

△A’B’C’的外接圓是否經過某個定點？

解答一：

思路分析二：

如果此圓過定點，此定點一定關于抛物線對稱，因此最可疑的就是焦點F了。下面隻需證明A’B’FC’共圓即可，隻需利用到角公式算出一個角的正切值，對稱得到另一個，說明其相等即可。

解答二：

思路分析三：純幾何證明

想到了前面性質9，

從而得到∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,

可以得到共圓，倒角即得結果。

解法三：

由前面性質9得∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,

故A'PQF共圓，

則∠FA'P=∠FQR,

同理∠FB'A=∠FQR,

故∠FB'A=∠FA'P,

故A'C'B'F共圓。

即△A’B’C’外接圓恒過抛物線焦點F。

注：

1、本性質既出乎意料，又在情理之中，是抛物線一個深刻而優美的性質，相對而言不是很常見。但是卻是抛物線和圓的完美綜合的問題。考察了抛物線的切線及三角形的外接圓方程及圓過定點的問題。既可以作為高考題（可以考察某些特例，例如讓一條切線為y軸等），也可以作為競賽題。可謂淡妝濃抹總相宜。

2、上面提供了三種解決思路，思路一是直接求出外接圓的一般方程。解決的關鍵是設出圓的一般方程，将三個點的坐标代入，消元解出參數D,E,F。思路直接自然，隻要按部就班的利用對稱性消元，化簡代入即可，運算量也不算太大。而且外接圓的一般方程也非常優美，首先是關于三個點A,B,C的坐标是對稱的，而且隻含有三個點的縱坐标的和、兩兩乘積的和、三個的乘積。最後确定此圓過焦點幾乎是顯而易見的。思路二和三都是直接猜出定點為焦點F，然後通過對角互補證明四點共圓。思路二是解析硬算，當然還是用到了到角公式，這個公式非常簡單但是也非常重要，我在前面很多文章中（如《2020年高聯一試11題的七種解法》）也強調過其至關重要的作用。這樣運算量會小了不少。而且從結果看∠FA’C的大小隻和點C有關，這也是一個神奇而精妙的結論。思路三是純幾何的想法，主要想到了性質9，下面利用兩個四點共圓即可得到第三個四點共圓。當然通過思路三的證明也順便證明了思路二的角度關系，即∠FA'P=∠FQR=過C的切線的傾斜角。

3、對平面幾何定理比較熟悉的讀者可以發現，上述證法三其實是證明了西姆松（Simson）定理的逆定理。因此本結論等價于西姆松定理的逆定理。

4、當然本題有可能還有其他的證明方法，有興趣的讀者可以自行挖掘，并歡迎在交流區探讨交流。

5、結合性質35，不難發現其實本性質等價于性質31。

此即為第41題的答案。

注：這也是抛物線外切三角形的奇妙性質，上述證明相對比較簡潔，基本思路就是充分利用對稱性，先猜後證。當然也可以按部就班的寫出兩條高線方程，聯立解出垂心坐标。不過運算量會大不少。此題難度也不算高，既考察了幾何性質，又需要解析計算，如果有對稱思維能大大簡化運算，結果也很神奇。是一個難度合适的高考或者競賽試題。

42 證明斯坦納定理：△ABC外接圓上任一點關于三邊對稱點與△ABC垂心共線。

進一步，結合性質12的證明知F關于切線的對稱點在準線上，又由性質13知F在切點三角形外接圓上，而由性質14知垂心在準線上，這樣就證明了斯坦納定理，即

△ABC外接圓上任一點關于三邊對稱點與△ABC垂心共線。

此即為問題42的證明。

43 抛物線的四條切線，每兩條切線交點與另兩條切線交點連線中點共線（牛頓線定理）

證明：

44 對于一般的四條直線，交成四個三角形，證明這四個三角的外接圓交于一點。這四個三角形的垂心在同一條直線上。

下面更上一層樓，考察抛物線四條切線圍成的圖形（一般把四條直線圍成的圖形稱為完全四邊形）。每三條切線可以圍成一個三角形，這樣就能得到四個外切三角形。由性質40知每個三角形的外接圓都經過焦點F。從而此四圓共點于F。又由性質41知四個三角形的垂心都在準線上，從而四個三角形的垂心共線。

反之，我們知道與四條直線都相切的抛物線是唯一的（一個相切相當于一個條件，四個條件可以确定一個抛物線）。這樣我們就得到了對一般的四條直線構成的完全四邊形，其中的四個三角形的外接圓共點于此抛物線焦點F，四個三角形的垂心共線于此抛物線的準線。這就是問題44的答案。

注：對平面幾何熟悉的讀者知道，此即為完全四邊形的性質：密克點、垂心線。上面通過抛物線的性質曲徑通幽，用解析法證明了上述結論，可謂另辟蹊徑。而且還有進一步的結論，四條切線中，每三條切線圍成的四個三角形外心共圓。囿于難度，這裡就略去不講了。

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