為什麼說自然數集是有限集合？——動态集合論

　　　　　　　　　　亦　文

　　衆所周知，集合論，乃是現代數學最重要的理論基礎，是由德國大數學家康托爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）在19世紀70、80年代創立的。它對集合的定義是：一些确定的、不同的東西的總體、整體或全體。由于此定義下的集合中的元素個數是确定不變的，因而我稱其為康式或靜态集合論。可惜的是，這個看似十分平常簡單的集合定義，卻引發了一系列無法自圓其說的自相矛盾結論，如比較著名的羅素悖論等等。于是為解決這些悖論，又進一步發展出了zfc公理系統等。似乎這樣一來，數學世界的大廈基礎終于穩固了。但事情真能如願以償嗎？

　　有點兒靜态集合論常識，就知道它認定：如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮集合。因此，自然數集N由于可與它的真子集奇數集J的元素之間一一對應：n ↹ j，因而由全部自然數n構成的自然數集合N自然是無限集合。同樣的，奇數集J等一系列元素間有↹(我們用↹表示元素間可相互一一對應)關系的集合也是無限集合。

　　可惜的是，康托爾從這裡開始就已經犯了自以為是想當然的原則性錯誤：一個集合是無限集合的本質，根本不是什麼整體與部分間的元素↹關系，而是集合S的元素個數Sⁿ乃是無限大量，即Sⁿ=∞，從而比可代表有限元素個數的任何自然數n都要大！即集合S的元素個數Sⁿ：n＜Sⁿ=∞。需要特别說明的一點是，就象許多人如我的大學老師當初上數學分析課時回答我的提問時所言：∞乃是數學中沒有定義卻代表無限大量的記号，數學中的無窮大量是可以大于任意指定正數的變量，因而∞不是實數。

　　不過，通過考察∞在數學中的實際作用可知，∞其實就是數學世界中的無窮大常量或無限數代表。當然，為了避免對于無限數的認識膚淺的尴尬，否認∞是數學中相對于有限數而言的無限數，把腦袋鑽進“記号”的沙堆中而顧頭不顧腚以掩耳盜鈴，這也是傳統數學界一面使用∞代表無限大常數，一邊采取不承認主義否認∞是一種常數而隻是一種記号從而自欺欺人的一大笑談罷了。實際上，所謂無限大常數∞，不過就是比任意有限正實數s都大的無限常數或無限數：∞＞s 而已。事情的真相就這麼簡單。

　　不過，隻要我們堅持以元素個數Sⁿ的大小來區分集合S的有限和無限，就立刻可以發現，所謂有限集合，就是指集S的元素個數Sⁿ＜∞。反之，Sⁿ=∞，集S才是真正的無限集合。這樣一來，對于一系列元素序列無上限的無窮盡集合，比如自然數集N，奇數集J等等，雖然我們不能确切知道它們的元素個數Nⁿ、Jⁿ等到底是多少，但卻可以十分确切地肯定：它們所具有的共同特征，就是元素個數Sⁿ＜∞，而不是Sⁿ=∞，從而與康托兒的整體與部分↹為無限集合的結論完全相悖，皆為有限集合。同時這也證明：有限集合Y中也有可以部分↹全體特性的集合存在。因此，↹關系，隻是證明了集合的元素序列無窮盡，沒有上限或終點而已，就象1/n≠0，可無限趨近卻永遠不能達到0一樣，但永遠不能證明它們的元素個數Yⁿ=∞。不妨根據它們的特點，把它們叫做無窮盡或無上限有限集即可。因此，康式集合論包括後來誕生于其上的zfc公理系統，把元素無窮盡集合定義為無限集合，乃是犯了一個錯把木桶當林甬、不辨雌雄，從而遺禍無窮的原則性錯誤，又派生出了一系列似是而非的謬論如基數理論等，不可避免地把他創立的康式集合論以及以其為基礎建立的zfc公理系統拖入了無盡黑暗深淵，引出了一系列悖論。

　　了解康式集合論的人，很難不知道由其引出的羅素悖論。這個悖論是英國數學家羅素(Russell)根據康式集合定義的缺陷特意構造出來的。其基本思想是：對于任意一個集合A，A要麼是自身的元素，即A∈A；A要麼不是自身的元素，即A∉A。根據康托爾集合論的元素全體之集合定義的概括原則，可将所有不是自身元素的集合x構成一個集合S={x:x∉x}。然後羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的答案，卻會令人陷入兩難境地：

　　如果S屬于S，根據S的定義，S就必不屬于S={x:x∉x}；反之，

　　如果S不屬于S(x∉x)，同樣根據定義，S就應屬于S。

即無論如何選擇，結論都是矛盾的，根本無法自圓其說。

　　這個悖論雖然是羅素人為構造出來的，但卻實打實地揭露出了康式集合概念定義的内在缺陷，證實康托爾的靜态集合定義極不完善，必須革故鼎新。因為時間永恒運動流逝的特性，從而并非任何對象都存在全體。比如自然數列N，就有始無終，無窮無盡，除了知道n＜∞以外，誰也不知道N的元素全體到底是多少。就象一天天增加的時間S，每天為一元素x，若其有了總體和終點：S={x：x為每一天}，那就是宇宙的末日到了。那麼按照康式集合定義，此類新元素源源不斷産生從而沒有确定不變的元素全體的對象，原本就根本不能構成康式集合，更别說構成以集合為元素的複合集合了。因此，要徹底避免和解決羅素悖論等這樣的自相矛盾，唯一和有效的途徑當然就是改變元素靜态不變的康式靜态集合的定義了，使其具有更大的包容性和适應性，從而徹底避免悖論的發生。

　　羅素悖論的發生，就在于其集合S的元素構成：S={x:x∉x}。S的誕生，實際上就是一個新元素不斷産生的無終點序列：S，S1=元素S 集S，S2=元素S1 集S1，……，永遠沒有總體或全體。即S作為新生集合，産生于其任意元素x之後，所以根本不存在S∈S的可能性。因為統計元素x的時候，S還未誕生，當然無從談起。這才能當x存在統計總體以後，構成了S。所以，S作為新元素，根本不在之前的考慮對象範圍之内，根本就沒有産生任何矛盾的可能性。要想讓新元素S∈S，實際上就是讓S作為新元素再加上老元素x共同構成了新集S1。S1與S的差别就在于多了一個新誕生的元素S，從而讓S成為了S1的真子集。羅素悖論能夠産生，就在于他忽略和混淆了S1的元素x和s間在時間上的母子先後關系，從而把不能同時産生的它們當做了同時并存的并列關系來處理才造成的惡果。

　　因此，羅素悖論的積極意義，就在于它揭示了元素之間存在時序先後，從而集合空間與現實世界一緻，乃是時空四維空間。忽略時序導緻的先後關系，而将之當做無時序的并列元素處理，那麼産生矛盾和悖論就是必不可免的。也因此，原本隻考慮靜态并列關系從而元素必有确定個數和全體的康式集合定義，就必須廢棄而重新定義，把具有時序的元素間存在先後動态變化的因素考慮進來，形成能夠涵蓋時空四維空間内元素的新的動态集合定義，就可解決一切問題了。再從時間沒有終點的永恒運動特性，可知新元素的誕生永遠源源不斷，從而能夠并列而有全體可言的元素實際上是少數，因而新的集合定義就必須要打破總體或全體的界限，不限定不要求元素的數量确定不變，允許新元素不斷産生和加入。這樣的集合，就和微信群一樣，允許新群員加入老群員退出，成員可以随時間變化而是動态不定的，當然确定不變也不反對。就是說：所謂集合，就是指滿足某種條件的對象的群體。如此一來，範圍動态可變，外延更加廣闊，涵蓋了全部時空四維空間。而康式靜态集合，其實不過是新型動态集合的真子集罷了。自然數、奇偶數等無全體可言的無窮盡對象也就都可以成集了。類似于羅素悖論等理論不自洽性自然也就沒有了誕生和容身之地了。

　　也許有人會問，既然自然數集N是元素個數Nⁿ＜∞的有限集，那麼真的存在Sⁿ=∞的無限集合嗎？答案是肯定的。

　　有初等數學常識的人都知道，有長度的數軸直線是由無長度或長度為0的點組成的。而每一個點都代表着數軸上的一個實數。原點的代表就是0。比如對于任意有限長度的線段x-x0，當x→x0，x-x0→0，而x=x0時，線段質變成了點，長度為0。所以傳統數學說點沒有長度或長度為0也是有其規則依據的，并非信口開河。且與純量變1/n≠0永遠成立不同，線段到點是質變，且最終确是達到了終點：x=x0，x-x0=0，隻剩下一個無長度的點。當然，這也活生生反向證實了确是無限多即∞個點，構成了線段。

　　那麼，無長度的點怎麼又能組成了有長度的線段呢？這和憑空就可以變出蘋果鴿子等的魔術雜耍不是如出一轍嗎？而數學是自然科學，不是變魔術，這樣的結論難道不是無法自圓其說的自欺欺人嗎？實際上，之所以會造成這種直觀上的無中生有自相矛盾現象，其原因乃是源于傳統數學對于點長度的一種錯誤認識。點長度其實并不為0而是無窮小量。換句話說，就象初等數學中早就知道的那樣，任意長線段x都是由無限多的點d組成的，而這點d數量的無限多，用一個數量或記号來表示的話，它就隻能是∞。因此，對于長度為x的線段，構成它的每個點的長度就是x/∞，叫做無窮小量。這無窮小量到底有多小呢？就是小到了對于線段長度的計量不會産生任何實質影響的程度從而完全可以忽略不計。比如對于以光年為單位計量的空間距離，一毫米的誤差對于準确計量根本産生不了任何影響，自然就是無窮小量而完全可以忽略不計了。甚至千米也可以看作是無窮小量而忽略不計了從而x/∞≈0。而這就是點長度又為0而變成沒長度的真相。因此，什麼是無窮小量？定義：無限小量就是對于原量級的計量不會産生任何實際影響從而可以忽略不計的量，記作x/∞。比如點長度因其無窮小，就對于線段計量沒有任何影響而被忽略不計作0處理了。由此也充分證明了一向以精确科學面目自據的傳統數學，實際上乃是一門建立在近似處理無限小量x/∞≈0的基礎上的近似科學，與現實世界中實際測量實踐如出一轍。如此一來，無限小量x/∞也就具有了原本≠0和近似≈0的雙重特性，成了數學世界中唯一的有無對立統一體，并靠着這個神奇特性而大顯身手，化腐朽為神奇而廣泛應用于微積分等牽涉到無限小的數學領域。說到這裡，大家也就不難明白，所謂的極限理論，其實就是無限小量有無轉化特性的自欺欺人代名詞，實際上根本就不需要。比如：lim 1/n=0，其實就是無限小x/∞被忽略不計而作0處理的脫褲子放屁，掩人耳目，故弄玄虛，指鹿為馬和多此一舉。究其原因，就是因為隻有形式邏輯非此即彼的單純量變而沒有辯證邏輯漸變中斷的質變飛躍的傳統數學中，1/n≠0永恒成立。所以必須用極限理論來掩人耳目，實現漸變中斷的質變飛躍，以完成把≠0變成=0的有變無質變飛躍。而表面上則自欺欺人，似乎依然沒有超出形式邏輯的推理範疇。這也許就是人類玩兒似是而非的自欺欺人小把戲的那點兒小聰明的活生生實證？

　　但也由此可知，構成任意長度線段集合X的點元素的個數Xⁿ=∞，從而符合無限集合的定義而構成一個無限集X。而時間軸，則更是構成動态無限集的實證。

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