公衆号：小學培優

一 分數乘法

1.⑴分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，都是求幾個相同加數的和的簡便運算。

分數乘整數，用分數的分子與整數相乘的積作分子，分母不變。結果不是最簡分數的，要約分，為了簡化計算，可以先約分，再計算。

⑵求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，即用這個數×幾分之幾。一個數乘分數的意義就是求這個數的幾分之幾是多少。分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。結果不是最簡分數的，要約分，為了簡化計算，可以先約分，再計算。分數乘整數可以看作分數乘分母為1的分數。

⑶兩個數相乘，如果一個因數等于0，那麼積等于0。兩個大于0的數相乘，如果一個因數大于1，那麼積大于另一個因數；如果一個因數等于1，那麼積等于另一個因數；如果一個因數小于1，那麼積小于另一個因數。

2.⑴“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題的解題方法是：用乘法計算，即用這個數×幾分之幾。

⑵“連續求一個數的幾分之幾是多少”的應用題的解題方法是：第一種：用已知數量(原始單位“1”的量)依次乘已知各分率。第二種：先把已知各分率相乘，求出所求數量占已知數量(原始單位“1”的量)的分率，再用已知數量(原始單位“1”的量)乘這個分率。

⑶“按原價的幾分之幾出售”的應用題的解題方法是：商品的現價=原價×幾分之幾；降低的價錢=原價-現價=原價-原價×幾分之幾=原價×(1-幾分之幾)。幾折就是零點幾或十分之幾。

二 圓

1.⑴①圓是由一條曲線圍成的圖形。通常用圓規畫圓，用圓規的一隻腳固定在一個點上，另一隻腳繞着這個點旋轉1圈，就能畫出一個圓。

②畫圓時，固定的點是圓心，圓心一般用字母O表示。圓心決定圓的位置。

③圓心到圓上任意一點的線段是半徑，半徑一般用字母r表示。圓有無數條半徑；在同圓或等圓中，所有半徑的長度都相等；畫圓時，圓規的兩隻腳之間的距離等于半徑的長度；半徑決定圓的大小。④通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，直徑一般用字母d表示。圓有無數條直徑；在同圓或等圓中，所有直徑的長度都相等；圓中最長的線段是直徑；直徑也決定圓的大小。

⑤在同圓或等圓中，直徑的長度等于半徑的長度的2倍，半徑的長度等于直徑的長度的一半，用字母表示為：d=2r或r=

。

⑥圓是軸對稱圖形，圓有無數條對稱軸，每條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。

⑵①頂點在圓心的角是圓心角。圓上兩點之間的部分叫做弧。

②由圓心角的兩條邊和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形。扇形的大小與扇形的半徑的長短和圓心角的大小有關；在同一個圓中，扇形的大小與扇形的圓心角的大小有關。扇形是軸對稱圖形，扇形有1條對稱軸，扇形的圓心角的角平分線所在的直線是扇形的對稱軸。半圓是圓心角為180°的扇形。

2.⑴圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。【圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，圓周率用希臘字母π表示。π是一個無限不循環小數(無理數)，π=3.1415926…，計算時，通常保留兩位小數，π≈3.14。】圓的周長等于直徑的π倍；圓的周長等于半徑的2π倍。圓的周長的計算公式是：圓的周長=直徑×圓周率或圓的周長=半徑×2×圓周率，用字母表示為：C=πd或C=2πr，圓的周長的長短與圓的半徑的長短或直徑的長短或面積的大小有關。直徑=圓的周長÷圓周率；半徑=圓的周長÷圓周率÷2。

⑵扇形的周長的計算公式是：扇形的周長=圓的周長×

半徑×2；半圓的周長的計算公式是：半圓的周長=圓的周長的一半 直徑。

3.⑴①圓所占平面的大小叫做圓的面積。圓的面積等于以半徑為邊長的正方形的面積的π倍，也就是圓的面積等于半徑的平方的π倍。圓的面積的計算公式是：圓的面積=半徑的平方×圓周率，用字母表示為：S=πr²，圓的面積的大小與圓的半徑的長短或直徑的長短或周長的長短有關。半徑=

。

②把一個圓平均分成若幹偶數份，剪開後可以拼成一個近似平行四邊形，這個近似平行四邊形的底相當于圓的周長的一半，高相當于圓的半徑，因為平行四邊形的面積=底×高，所以圓的面積=

C×r=

×2πr×r=πr²。

③周長都相等的所有四邊形中，正方形的面積最大；周長都相等的所有平面圖形中，圓的面積最大。面積都相等的所有四邊形中，正方形的周長最短；面積都相等的所有平面圖形中，圓的周長最短。

⑵①扇形的面積的計算公式是：扇形的面積=圓的面積×

；半圓的面積的計算公式是：半圓的面積=圓的面積的一半。

②圓環的面積的計算公式是：圓環的面積=外圓的面積-内圓的面積=外圓的半徑的平方×圓周率-内圓的半徑的平方×圓周率=(外圓的半徑的平方-内圓的半徑的平方)×圓周率，用字母表示為：

，其中外圓的半徑=内圓的半徑 環寬，外圓的直徑=内圓的直徑 環寬×2。

③求一個不規則圖形的面積，可以将其轉化為求一個規則圖形的面積，或将其轉化為求幾個規則圖形的面積的和或差。

三 分數除法

1.⑴①乘積是1的兩個數互為倒數。例如：因為

×

=1，所以

與

互為倒數，

的倒數是

。因為

×

=1，所以

與

互為倒數，

的倒數是

。因為1×1=1，所以1與1互為倒數，1的倒數是1。因為0乘任何數都不等于1，所以0沒有倒數。

②求一個非0數的倒數，隻要把這個非0數的分子和分母交換位置就可以了。例如：

的倒數是

，

的倒數是38，27的倒數是

，

的倒數是

，

的倒數是

，3.65的倒數是

，a的倒數是

(a≠0)。

③0沒有倒數；-1和1的倒數等于它本身；小于-1的數和大于0且小于1的數的倒數大于它本身；大于-1且小于0的數和大于1的數的倒數小于它本身。

⑵①加減法的關系：加數 加數=和，一個加數=和-另一個加數；被減數-減數=差，被減數=差 減數，減數=被減數-差。乘除法的關系：因數×因數=積，一個因數=積÷另一個因數；在沒有餘數的除法裡，被除數÷除數=商，被除數=商×除數，除數=被除數÷商；在有餘數的除法裡，餘數小于除數，被除數=商×除數 餘數，除數=(被除數-餘數)÷商，商=(被除數-餘數)÷除數，餘數=被除數-商×除數。

②分數除法的意義與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算；除法是乘法的逆運算，0不能作除數。分數除以非0整數，等于分數乘這個整數的倒數；一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數；甲數除以乙數(乙數不為0)，等于甲數乘乙數的倒數。

③兩個數相除(除數不為0)，如果被除數等于0，那麼商等于0。兩個大于0的數相除，如果除數大于1，那麼商小于被除數；如果除數等于1，那麼商等于被除數；如果除數小于1，那麼商大于被除數。

2.⑴“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題的這個數(單位“1”的量)是已知的，其解題方法是：這個數×幾分之幾；“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題的這個數(單位“1”的量)是未知的，其常用解題方法是：先設這個數為x再列方程解答。

⑵“求比一個數的幾分之幾多(或少)幾的數是多少”的應用題的這個數(單位“1”的量)是已知的，其解題方法是：這個數×幾分之幾±幾；“已知比一個數的幾分之幾多(或少)幾的數是多少，求這個數”的應用題的這個數(單位“1”的量)是未知的，其常用解題方法是：先設這個數為x再列方程解答。

⑶“求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少”的應用題的這個數(單位“1”的量)是已知的，其解題方法是：這個數±這個數×幾分之幾=這個數×(1±幾分之幾)；“已知比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少，求這個數”的應用題的這個數(單位“1”的量)是未知的，其常用解題方法是：先設這個數為x再列方程解答。

四 比和按比例分配

1.⑴①求兩個數量之間的關系要用一個數除以另一個數，我們還可以把這兩個數量之間的關系用比來表示。例如：5÷4可以寫成5∶4或

，都讀作“5比4”。兩個數相除又叫做這兩個數的比。在5∶4或

中，5是比的前項，“∶”或“—”都是比号，4是比的後項。兩個量的比可以是同類量的比，也可以是不同類量的比；比有順序；比沒有單位名稱。

②比的前項除以後項所得的商，是這個比的比值。例如：求比值300∶12=300÷12=25，

，

=5÷4=

，4∶5=4÷5=0.8。比值可以是整數、分數或小數。

③比、除法、分數之間的聯系是：比的前項相當于除法的被除數和分數的分子；比号相當于除法的除号和分數的分數線；比的後項相當于除法的除數和分數的分母，比的後項、除數和分母都不能為0；比值相當于除法的商和分數的分數值。比、除法、分數之間的區别是：比是一種關系；除法是一種運算；分數是一種數。比、除法、分數之間的關系可以用字母表示為a∶b或

=a÷b=

(b≠0)。

⑵比的前項和後項同時乘或除以相同的非0數，比值不變。這叫做比的基本性質。前項和後項隻有公因數1的比叫做最簡整數比。把一個比化成同它相等的最簡整數比的過程叫做化簡比。化簡比的依據是比的基本性質。化簡比的方法是：

①化簡整數比，用比的前項和後項同時除以它們的最大公因數。例如：

化簡比=

。

②化簡分數比，通常先用比的前項和後項同時乘它們分母的最小公倍數将分數比轉化成整數比。

例如：化簡比∶

。

③化簡小數比，通常先用比的前項和後項同時乘10或100或1000或……将小數比轉化成整數比。例如：

化簡比2.75∶1.5=(2.75×100)∶(1.5×100)=275∶150=(275÷25)∶(150÷25)=11∶6。

2.把一個數量按照一定的比來進行分配，這種分配方法通常叫做按比例分配。“按比例分配”的應用題的常用解題方法是：先用“已知的數量÷已知的數量對應的份數”求出每份的數量，再用“每份的數量×未知的數量對應的份數”求出未知的數量。

五 圖形變化和确定位置

1.能夠完全重合的兩個圖形的大小和形狀完全相同。圖形放大或縮小得到的圖形與原圖形相比，大小不同，形狀相同。在方格紙上将一個多邊形放大或縮小，要先數出這個多邊形各邊的格數，再計算出這個多邊形各邊按相同的比放大或縮小後的新多邊形各邊的格數，最後畫出新多邊形。注意：斜邊的放大或縮小可以轉化成直角三角形的兩條直角邊的放大或縮小；角的大小(度數)不能放大或縮小；如果一個多邊形的各邊按n∶1放大即各邊放大到原來的n倍，那麼這個多邊形的周長按n∶1放大即周長放大到原來的n倍，面積按n²∶1放大即面積放大到原來的n²倍；如果一個多邊形的各邊按1∶n縮小即各邊縮小為原來的

，那麼這個多邊形的周長按1∶n縮小即周長縮小為原來的

，面積按1∶n²縮小即面積縮小為原來的

。

2.比例尺是圖上距離與實際距離的比，就是

=比例尺；

=比例尺。比例尺按表示的形式可以分為數字比例尺、線段比例尺和文字比例尺三類。比例尺按圖上距離與實際距離的大小關系可以分為放大比例尺、等大比例尺和縮小比例尺三類。圖上距離=實際距離×比例尺；實際距離=圖上距離÷比例尺。

3.⑴确定參照點後，根據物體相對于參照點的方向和距離就能确定物體的位置。

①根據平面圖描述物體的實際位置，要說出物體相對于參照點的方向和實際距離。注意：除東、南、西、北四個方向外，其他方向通常說成南(北)偏東(西)多少度的方位角。

②畫平面圖确定物體的圖上位置，要先畫出以參照點為原點的十字線并标注上“北”右“東”和比例尺，再根據物體相對于參照點的方向和圖上距離畫出線段并标示方位角和物體。

⑵①根據平面圖描述行走路線，要從起點開始依次說出從一個地點向什麼方向行走多長的實際距離到達下一個地點。

②畫行走路線圖，要先畫出方向标和标注比例尺，再根據各個物體相對于參照點的方向和圖上距離依次畫出行走路線圖的各條線段并标示方位角和物體。

六 分數混合運算

1.⑴分數混合運算的運算順序和整數混合運算的運算順序相同。

①在沒有括号的綜合算式裡，如果隻有加減法或者隻有乘除法，要從左往右依次計算。

②在沒有括号的綜合算式裡，如果既有加減法又有乘除法，要先算乘除法，再算加減法。

③在有括号的綜合算式裡，要先算括号裡面的，再算括号外面的。

⑵我們學過的運算律和運算性質，在分數運算中同樣适用。

①兩個數相加，交換兩個加數的位置，和不變。這就是加法交換律。如果用a和b表示兩個數，那麼加法交換律可以表示為：a b=b a

②3個數相加，先把前兩個數相加，再加第3個數；或先把後兩個數相加，再加第1個數，和不變。這就是加法結合律。如果用a，b，c表示三個數，那麼加法結合律可以表示為：(a b) c=a (b c)

③減法的運算性質可以表示為：a-b-c=a-(b c)；a-b c=a-(b-c)

④兩個數相乘，交換兩個因數的位置，積不變。這就是乘法交換律。如果用a和b表示兩個數，那麼乘法交換律可以表示為：a×b=b×a

⑤3個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘第3個數；或先把後兩個數相乘，再乘第1個數，積不變。這就是乘法結合律。如果用a，b，c表示三個數，那麼乘法結合律可以表示為：(a×b)×c=a×(b×c)

⑥除法的運算性質可以表示為：a÷b÷c=a÷(b×c)；a÷b×c=a÷(b÷c)

⑦兩個數的和與一個數相乘，可以先把兩個加數分别與這個數相乘，再将兩個積相加，結果不變。這就是乘法分配律。如果用a，b，c表示三個數，那麼乘法分配律可以表示為：(a b)×c=a×c b×c

2.分數應用題可以分為如下三類：

⑴“求一個數是另一個數的幾分之幾”的應用題；“求一個數比另一個數多(或少)幾分之幾”的應用題。

⑵“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題；“求比一個數的幾分之幾多(或少)幾的數是多少”的應用題；“求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少”的應用題。

⑶“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題；“已知比一個數的幾分之幾多(或少)幾的數是多少，求這個數”的應用題；“已知比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少，求這個數”的應用題。

七 負數的初步認識

1.⑴①在标準大氣壓下，規定水結冰時的溫度是0℃，水沸騰時的溫度是100℃。零上3攝氏度記作 3℃；比0攝氏度低的溫度，我們用帶“-”号的數表示，零下4攝氏度記作-4℃。表示海拔高度時，規定海平面的高度為0m。比海平面高8844.43m記作 8844.43m；比海平面低155m記作-155m。

②像 0.72， 3， 8844.43，…這樣大于0的數都是正數。正數有無數個，1不是最小的正數，最大的正數和最小的正數都不存在。“ 3”讀作“正三”，“ ”是正号，通常“ ”号省略不寫。像-0.098，-6，-155，…這樣小于0的數都是負數。負數有無數個，-1不是最大的負數，最大的負數和最小的負數都不存在。“-0.098”讀作“負零點零九八”，“-”是負号，“-”不可以省略不寫。0既不是正數，也不是負數。

⑵正數和負數可以用來表示相反意義的量。如果規定用“ ”分别表示向東走，向北行駛，體重增加，盈利，上升，收入，逆時針旋轉，往銀行存入……那麼用“-”分别表示向西走，向南行駛，體重減少，虧損，下降，支出，順時針旋轉，從銀行取出……

八 可能性

(略)

▍資料來源：網絡

▍綜合整理：小學培優

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