1.極坐标系與點的極坐标

如圖所示,在平面内取一個定點O,叫作極點;自極點O引一條射線Ox,叫作極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐标系.

設M是平面内一點,極點O與點M的距離|OM|叫作點M的極徑,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫作點M的極角,記為θ.有序數對(ρ,θ)叫作點M的極坐标,記為M(ρ,θ).

2.極坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐标系中取相同的長度單位.設M是平面内任一點,它的直角坐标是(x,y),極坐标是(ρ,θ),則極坐标與直角坐标的互化,公式為:

3.簡單曲線的極坐标方程

4.求解與極坐标有關問題的主要方法

(1)直接法:直接利用極坐标系求解,可與數形結合思想配合使用;

(2)間接法:轉化為直角坐标系,用直角坐标求解.若結果要求的是極坐标,還應将直角坐标化為極坐标.

極坐标與直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,還經常用到同乘以(除以)ρ等技巧.

經典例題:

(1)化圓的直角坐标方程x2 y2=r2(r>0)為極坐标方程;

(2)化曲線的極坐标方程ρ=8sin θ為直角坐标方程.

思路分析:利用極坐标、直角坐标轉換公式可以把直角坐标方程轉化為極坐标方程,也可将極坐标方程轉化成直角坐标方程.

解析：(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2 y2=r2(r>0),得ρ2cos2θ ρ2sin2θ=r2,即ρ=r.

所以,以極點為圓心、r為半徑的圓的極坐标方程為ρ=r(0≤θ<2π).

總結:确定極坐标方程時要注意極坐标系的四要素:極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向,四者缺一不可.

經典例題:

在直角坐标系xOy中，以坐标原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐标系，曲線的極坐标方程為。

（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌迹的直角坐标方程；

（2）設點A的極坐标為，點B在曲線上，求面積的最大值。

思路分析：（1）設出點M和點P的極坐标，用代入法求出點P的極坐标，再化為直角坐标方程即可；（2）設出B點的極坐标，根據三角形的面積公式列出△AOB面積的關系式，運用三角函數知識求最值即可。

解析:（1）設P的極坐标為（ρ，θ）（ρ）0），M的極坐标為（ρ1，θ）（ρ1）0），由題設知

總結:曲線的極坐标方程往往要與直角坐标方程進行相互轉化.當條件涉及“角度”和“到定點距離”時,引入極坐标系将會給問題的解決帶來很大的方便.

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