全文字數｜3.8千

閱讀時間｜18分鐘

圖片來源｜網絡

1.計算類幾何題解題技巧：「公式法」

2.例題1：複雜描述的簡單轉化

3.例題2：相似三角形的特點

4.例題3：投影定理與球體的特性

5.例題4：結合選項反推的技巧

6.例題5：對棱錐體積公式的考察

「數量關系」中的幾何類題目有兩類，一類數據非常簡單，但需要通過思考找到隐藏的條件，才能解出正确答案，可稱之為「推理類幾何題」；另一類數據較為複雜，解題過程需要大量計算和對相關幾何公式的掌握，可稱之為「計算類幾何題」。

本文講的是「計算類幾何題」的解題技巧。

行測中「計算類幾何題」的解題技巧非常簡單，都可以分為兩步：

①簡化題幹叙述的條件，建立最簡單的幾何模型

②使用對應的公式進行計算

其中①的步驟非常簡單，畢竟「數量關系」不會考察言語理解能力，數字描述是沒有歧義的，關鍵是第二步。

行測中幾何題考察的公式很多，最常見的就是勾股定理和面積/體積計算公式，除此之外還有sin、cos、tan的值、相似三角形、球的投影公式等，沒有特定的限制。

大家在備考時，一定要整理總結一下義務教育階段所學的相關計算公式，并嘗試提升自己的計算速度，降低錯誤率。嚴格來說，此類題目的難度很低，但如果記不住公式或者計算效率不夠快，也會導緻錯誤率變高或者沒有時間去做。

行測中不會考察難度特别高的公式，更傾向于測試考生的計算能力。

【2018國考省級卷71題】一艘非法漁船作業時發現其正右方有海上執法船，于是沿下圖所示方向左轉30°後，立即以15節（1節=1海裡/小時）的速度逃跑，同時執法船沿某一直線方向勻速追趕，并正好在某一點追上。

已知漁船在被追上前逃跑的距離剛好與其發現執法船時與執法船的距離相同，則執法船的速度為多少節？

（A）20

（B）30

（C）10√3

（D）15√3

已知漁船在被追上前逃跑的距離剛好與其發現執法船時與執法船的距離相同，則執法船的速度為多少節？

（A）20

（B）30

（C）10√3

（D）15√3

正确率30%，易錯項C

題幹數據關系在圖片中基本标出。由最後一句話可知，漁船被發現點距離漁船被追上點和執法船初始點的距離相同。

根據「正右方」和「左轉30°」可知，兩船各自的初始點和相遇的最終點，可形成一個大角為90° 30°=120°的鈍角等腰三角形，執法船行駛距離為三角形長邊，作圖如下：

由O向AB作垂線，交點為C，此時AB=2AC。

由于sin30°=1/2，即OB=2OC，根據勾股定理可知：

BC=√3/2OB，AB=2BC=√3OB。

距離=速度×時間，且執法船和非法漁船的行駛時間相同，因此兩者速度比例相同，即：

執法船速度=√3非法漁船速度=15√3，D選項正确。

說下題外話：本題的選材是「海上執法船」和「非法漁船」，體現了近年來公考強調的「多學科、多考點結合」的新趨勢，值得注意。結合近年來中國海上力量的建設和對漁業資源的保護力度，這道題充滿了正能量。

或許2019國考中會考察「我國近年來新型漁政船的特點」或者「漁業保護力度加強的措施有」等内容，大家有興趣可以關注一下。

本題需要理解的點包括：

「正東方」→非法漁船最初行駛方向和其與執法船的交點為直角

「逃跑距離=最初兩者距離」→等腰三角形

「同一時間行動至追上」→時間相同，因此速度比例=距離比例

這道題錯誤率高的最主要原因是上述點都需要盡快理清，在時間緊張的情況下，很多考生選擇了放棄。隻要能夠明白本題要表達的意思，就很容易确定這是一道求鈍角等腰三角形長邊的題。

【2017國考地市級卷67題／ 省級卷69題】一塊種植花卉的矩形土地如下圖所示：AD邊長是AB的2倍，E是CD的中點，甲、乙、丙、丁、戊區域分别種植白花、紅花、黃花、紫花、白花。

種植白花的面積占矩形土地面積的比例為（ ）

（A）3/4

（B）2/3

（C）7/12

（D）1/2

種植白花的面積占矩形土地面積的比例為（ ）

（A）3/4

（B）2/3

（C）7/12

（D）1/2

正确率56%，易錯項B

本題最簡潔的解題思路是賦值。給DE賦值後，便可以很快求出⊿BEC的面積為與矩形土地的面積，得出解題重點為求⊿ABO的面積。

在已知⊿ABO 和⊿DEO相似的情況下，通過AB：DE的長度為2:1，得出以AB和DE為底邊，以O向兩者做垂線段的長度為高也具有2:1的對應關系，根據矩形邊長即可得出O點到AB的長度，從而算出⊿ABO的面積。

設DE和EC長度為1，則：

DC=AB=2，AD=BC=4。

種植白花的為甲和戊，即⊿ABO和⊿BEC，可得：

⊿BEC=1×4÷2=2，矩形=4×2=8

所占比例=（⊿BEC ⊿ABO）/矩形

=（2 ⊿ABO）/8

⊿ABO和⊿DEO中，由于BD為矩形ABCD的對角線，可得∠ABO=∠ODE，同時∠AOB=∠DOE，

→⊿ABO和⊿DEO三個角角度相等，兩個三角形相似

已知AB：DE=2:1，相似三角形三邊比例相同，即：

由O點到AB和到DE兩點的垂線（即三角形的高）之比也是2:1

由于兩者之和=矩形的邊長=4，且O點到AB的垂線長度占3份中的2份，可得：

⊿ABO的高=4×2/3=8/3

→⊿ABO的面積為2×8/3÷2=8/3，

→甲和戊之和為2 8/3=14/3

所占比例=（2 8/3）/8=14/3÷8=7/12，C選項正确。

本題主要考察了「相似三角形」這個考點。相似三角形是三角分别相等，三邊成比例的兩個三角形，即本題中的⊿ABO和⊿DEO，通過比例關系可算出對應的面積。如果沒有掌握相似三角形的原理，那麼這道題基本沒有辦法解出。

【2017國考地市級卷70題／ 省級卷75題】某次軍事演習中，一架無人機停在空中對三個地面目标點進行偵察。已知三個目标點在地面上的連線構成直角三角形，兩個點之間的最遠距離為600米。

無人機與三個點同時保持500米距離時，其飛行高度為多少米？

（A）300

（B）400

（C）500

（D）600

無人機與三個點同時保持500米距離時，其飛行高度為多少米？

（A）300

（B）400

（C）500

（D）600

正确率40%，易錯項A

設地面3點為ABC，列出題幹數據關系：

①地面ABC連線為直角三角形，∠ABC為直角

②AC之間距離為600m

③空中無人機距ABC均為500m，求無人機高度

由①③可知，飛機是一個點，地面是一個面，點到面上三個點的距離相同。

如果對投影知識有了解的同學，可以快速判斷出該點到平面的投影距離三個點相同，設飛機投影為O點，可得：

根據「圓上任意一點到圓直徑兩點所成的角都是直角」的定理可知，該投影點就在以AC為直徑的圓上，即：

O為AC中點

OA=OC=600÷2=300m

根據③可知和勾股定理可知，飛機到O點的投影距離（也就是飛機的高度）為：√500²-300²=400m，B選項正确。

那麼問題來了：忘記投影定理（畢竟該定理比較冷門）的小夥伴們要怎麼辦呢？有一種輔助的解法，即利用球體的特性。

還是設一個直角三角形ABC，設飛機為D，由于D點距離ABC三點相同，所以可以設一個以D為球心的球，ABC即為球上三點，形成一個截面。

飛機的高度即為D點到截面的垂直距離。由上文解析可推得ABC可以形成一個以AC為直徑的圓，而球心到截面圓心的線段必然垂直于該圓，即為飛機高度。

圓的半徑為600÷2=300m，球的半徑為500m，根據勾股定理可求得球心到截面圓心的線段為400m，B選項正确。

本題數據看似簡單，但涉及到數量關系題的「大殺器」——空間想象。空間想象題在「數量關系」中的地位和抒情散文題在「言語理解」與表達中差不多，基本上一出馬就能把大半考生殺的人仰馬翻，所以這種「大殺器」一般來說一次考試也不會出太多……

做題時一定要運動起自己的大腦，思索一切可能的解題方法，不要輕易放棄。

【2016國考省級卷75題】将一個8厘米×8厘米×1厘米的白色長方體木塊的外表面塗上黑色顔料，然後将其切成64個棱長1厘米的小正方體，再用這些小正方體堆成棱長4厘米的大正方體，且使黑色的面向外露的面積要盡量大。

大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的？

（A）84

（B）88

（C）92

（D）96

大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的？

（A）84

（B）88

（C）92

（D）96

正确率36%，易錯項C

列出題幹數據關系：

①8×8×1的長方體塗黑、切方塊

②4×4×4的正方體由①堆成

③要求正方體外露黑色面積最大

本題看似需要逐個考慮如何由①來堆成②，但這種方法是不太合适的，原因在于這種思路沒有結合選項去考慮。

可直接心算出正方體表面積=4×4×6=96，而4個選項分别為84~96，也就是說：

假設正方體表面全塗黑，該數據和正确選項的差為12~0，即絕大部分方塊滿足「黑面朝外」的要求

因此，本題應當「反推」，即考慮「不能黑面朝外的方塊有幾個，共有幾個面」，這樣才是簡潔正确的思路。列出長方體和正方體方塊的種類及數量：

長方體：

4面黑→4頂點→1×4=4

3面黑→4條棱→6×4=24

2面黑→1個面→6×6=36

其中：

「3面黑」中有2個面相對

「2面黑」中2個面相對

正方體：

3面黑→8頂點→1×8=8

2面黑→12條棱→2×12=24

1面黑→6個面→2×2×6=24

0面黑→在内部→2×2×2=8

其中：

「2面黑」中2個面相鄰

嘗試将長方體的黑面組合入正方體中，可發現如下規律：

長方體4個「4面黑」頂點方塊可抵消正方體4個「3面黑」頂點方塊，還有4個「3面黑」的缺口。

長方體24個「3面黑」棱方塊中有2個面相對，即有1個面無法利用，可視為24個「2面黑」方塊，恰好可抵消正方體24個「2面黑」棱方塊。

長方體36個「2面黑」面方塊中有2個面相對，即有1個面無法利用，可視為36個「1面黑」方塊，可抵消正方體24個「1面黑」 面方塊和8個「0面黑」内部方塊，還餘下4個「2面黑（可視為1面黑）」方塊。

此時，将4個「2面黑（可視為1面黑）」方塊拼入4個「3面黑」方塊的頂點，每個方塊有2個面白色朝外，即共有2×4=8的面積為白色，結果為96-8=88，B選項正确。

本題非常經典，難度也非常高。一般的「立體幾何」類題目通過紙筆勾勒就很容易找到解題思路（如果找不到，一般也做不出來），然而本題不行。

這道題方塊黑面的種類和數量相當複雜，如果逐個思考「堆積」的方式，是很容易浪費大量時間确勞而無功的。解題核心就在于「反推」，即結合選項來快速發現絕大部分方塊都能做到「黑面朝外」，因此隻要假設正方體所有面均為黑，盡量多地用長方體的黑面去「抵消」，本題就迎刃而解了。

如果黑面隻有十幾、二十幾個，就要考慮從「順推」入手了。

【2012國考80題】連接正方體每個面的中心構成一個正八面體(如下圖所示)：

已知正方體的邊長為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米?

（A）18√2

（B）24√2

（C）36

（D）72

已知正方體的邊長為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米?

（A）18√2

（B）24√2

（C）36

（D）72

正确率52%，易錯項D

本題非常簡單，但需要考生記住棱錐的計算公式。

把正八面體橫向「劈開」，可分成上下兩個四棱錐，棱錐的體積公式為：

V=1/3Sh，S為底面積，h為高

顯然S棱錐=1/2S正方體，如圖：

h棱錐=h半個正方體，因此：

V四棱錐=1/3×1/2S正方體×h半個正方體

=1/3×1/2×（6×6）×3

=18

V正八面體=2V四棱錐=2×18=36，C選項正确。

本題考察的是考生對公式的理解和記憶，如果完全沒有印象，那麼這道題是做不出來的。

初中幾何基礎的掌握程度，也是公考的考察對象。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!