數學概念整理：

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整數部分：

十進制計數法；一（個）、十、百、千、萬……都叫做計數單位.其中“一”是計數的基本單位.10個1是10,10個10是100……每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十.這種計數方法叫做十進制計數法

整數的讀法：從高位一級一級讀,讀出級名（億、萬）,每級末尾0都不讀.其他數位一個或連續幾個0都隻讀一個“零”.

整數的寫法：從高位一級一級寫,哪一位一個單位也沒有就寫0.

四舍五入法：求近似數,看尾數最高位上的數是幾,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾數向前一位進1.這種求近似數的方法就叫做四舍五入法.

整數大小的比較：位數多的數較大,數位相同最高位上數大的就大,最高位相同比看第二位較大就大,以此類推.

2

小數部分：

把整數1平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之幾……這些分數可以用小數表示.如1/10記作0.1,7/100記作0.07.

小數點右邊第一位叫十分位,計數單位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位,計數單位是百分之一（0.01）……小數部分最大的計數單位是十分之一,沒有最小的計數單位.小數部分有幾個數位,就叫做幾位小數.如0.36是兩位小數,3.066是三位小數

小數的讀法：整數部分整數讀,小數點讀點,小數部分順序讀.

小數的寫法：小數點寫在個位右下角.

小數的性質：小數末尾添0去0大小不變.化簡

小數點位置移動引起大小變化：右移擴大左縮小,1十2百3千倍.

小數大小比較：整數部分大就大；整數相同看十分位大就大；以此類推.

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分數和百分數

■分數和百分數的意義

1、 分數的意義：把單位“ 1” 平均分成若幹份,表示這樣的一份或者幾份的數,叫做分數.在分數裡,表示把單位“ 1” 平均分成多少份的數,叫做分數的分母；表示取了多少份的數,叫做分數的分子；其中的一份,叫做分數單位.

2、 百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數,叫做百分數.也叫百分率或百分比.百分數通常不寫成分數的形式,而用特定的“%”來表示.百分數一般隻表示兩個數量關系之間的倍數關系,後面不能帶單位名稱.

3、 百分數表示兩個數量之間的倍比關系,它的後面不能寫計量單位.

4、 成數：幾成就是十分之幾.

■分數的種類

按照分子、分母和整數部分的不同情況,可以分成：真分數、假分數、帶分數

■分數和除法的關系及分數的基本性質

1、 除法是一種運算,有運算符号；分數是一種數.因此,一般應叙述為被除數相當于分子,而不能說成被除數就是分子.

2、 由于分數和除法有密切的關系,根據除法中“商不變”的性質可得出分數的基本性質.

3、 分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（0除外）,分數的大小不變,這叫做分數的基本性質,它是約分和通分的依據.

■約分和通分

1、 分子、分母是互質數的分數,叫做最簡分數.

2、 把一個分數化成同它相等但分子、分母都比較小的分數,叫做約分.

3、 約分的方法：用分子和分母的公約數（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數為止.

4、 把異分母分數分别化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分.

5、 通分的方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數,然後把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數.

■倒 數

1、 乘積是1的兩個數互為倒數.

2、 求一個數（0除外）的倒數,隻要把這個數的分子、分母調換位置.

3、 1的倒數是1,0沒有倒數

■分數的大小比較

1、 分母相同的分數,分子大的那個分數就大.

2、 分子相同的分數,分母小的那個分數就大.

3、 分母和分子都不同的分數,通常是先通分,轉化成通分母的分數,再比較大小.

4、 如果被比較的分數是帶分數,先要比較它們的整數部分,整數部分大的那個帶分數就大；如果整數部分相同,再比較它們的分數部分,分數部分大的那個帶分數就大.

■百分數與折數、成數的互化：

例如：三折就是30％,七五折就是75％,成數就是十分之幾,如一成就是牐 闖砂俜質 褪?0%,則六成五就是65%.

■納稅和利息：

稅率：應納稅額與各種收入的比率.

利率：利息與本金的百分率.由銀行規定按年或按月計算.

利息的計算公式：利息=本金×利率×時間

百分數與分數的區别主要有以下三點：

1．意義不同.百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數.”它隻能表示兩數之間的倍數關系,不能表示某一具體數量.如：可以說 1米 是 5米 的 20％,不可以說“一段繩子長為20％米.”因此,百分數後面不能帶單位名稱.分數是“把單位‘1’平均分成若幹份,表示這樣一份或幾份的數”.分數不僅 可以表示兩數之間的倍數關系,如：甲數是3,乙數是4,甲數是乙數的?；還可以表示一定的數量,如：犌Э恕 米等.

2．應用範圍不同.百分數在生産、工作和生活中,常用于調查、統計、分析與比較.而分數常常是在測量、計算中,得不到整數結果時使用.

3．書寫形式不同.百分數通常不寫成分數形式,而采用百分号“％”來表示.如：百分之四十五,寫作：45％；百分數的分母固定為100,因此,不論百分數 的分子、分母之間有多少個公約數,都不約分；百分數的分子可以是自然數,也可以是小數.而分數的分子隻能是自然數,它的表示形式有：真分數、假分數、帶分 數,計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數,是假分數的要化成帶分數.

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數的整除

■整除的意義

整數a除以整數b（b≠0）,除得的商正好是整數而沒有餘數,我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）

除盡的意義 甲數除以乙數,所得的商是整數或有限小數而餘數也為0時,我們就說甲數能被乙數除盡,（或者說乙數能除盡甲數）這裡的甲數、乙數可以是自然數,也可以是小數（乙數不能為0）.

■約數和倍數

1、如果數a能被數b整除,a就叫b的倍數,b就叫a的約數.2、一個數的約數的個數是有限的,其中最小的約數是1,最大的約數是它本身.3、一個數的倍數的個數是無限的,其中最小的是它本身,它沒有最大的倍數.

■奇數和偶數

1、能被2整除的數叫偶數.例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶數 2、不能被2整除的數叫基數.例如：1、3、5、7、9……

■整除的特征

1、能被2整除的數的特征：個位上是0、2、4、6、8.

2、能被5整除的數的特征：個位上是0或5.

3、能被3整除的數的特征：一個數的各個數位上的數之和能被3整除,這個數就能被3 整除.

■質數和合數

1、一個數隻有1和它本身兩個約數,這個數叫做質數（素數）.

2、一個數除了1和它本身外,還有别的約數,這個數叫做合數.

3、1既不是質數,也不是合數.

4、自然數按約數的個數可分為：質數、合數

5、自然數按能否被2整除分為：奇數、偶數

■分解質因數

1、每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式,這幾個質數叫做這個合數的質因數.例如：18=3×3×2,3和2叫做18的質因數.

2、把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數.通常用短除法來分解質因數.

3、幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數.其中最大的一個叫這幾個數的最大公因數.公因數隻有1的兩個數,叫做互質數.幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數.其中最大的一個叫這幾個數的最大公倍數.

4、特殊情況下幾個數的最大公約數和最小公倍數.（1）如果幾個數中,較大數是較小數的倍數,較小數是較大數的約數,則較大數是它們的最小公倍數,較小數是它們的最大公約數.（2）如果幾個數兩兩互質,則它們的最大公約數是1,小公倍數是這幾個數連乘的積.

■奇數和偶數的運算性質：

1、相鄰兩個自然數之和是奇數,之積是偶數.

2、奇數 奇數=偶數,奇數 偶數=奇數,偶數 偶數=偶數；奇數-奇數=偶數,

奇數-偶數=奇數,偶數-奇數=奇數,偶數-偶數=偶數；奇數×奇數=奇數,奇數×偶數=偶數,偶數×偶數=偶數.

整數、小學、分數四則混合運算

■四則運算的法則

1、加法a、整數和小數：相同數位對齊,從低位加起,滿十進一b、同分母分數：分母不變,分子相加；異分母分數：先通分,再相加

2、減法a、整數和小數：相同數位對齊,從低位減起,哪一位不夠減,退一當十再減b、同分母分數：分母不變,分子相減；異分母分數：先通分,再相減

3、乘法a、整數和小數：用乘數每一位上的數去乘被乘數,用哪一位上的數去乘,得數的末位就和哪一位對起,最後把積相加,因數是小數的,積的小數位數與兩位因數的小數位數相同b、分數：分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母.能約分的先約分,結果要化簡

4、除法a、整數和小數：除數有幾位,先看被除數的前幾位,（不夠就多看一位）,除到被除數的哪一位,商就寫到哪一位上.除數是小數是,先化成整數再除,商中的小數點與被除數的小數點對齊b、甲數除以乙數（0除外）,等于甲數除以乙數的倒數

■運算定律

加法交換律 a＋b=b＋a

結合律 （a＋b）＋c=a＋（b＋c）

減法性質 a－b－c=a－（b＋c）

a－（b－c）=a－b＋c

乘法交換律 a×b=b×a

結合律 （a×b）×c=a×（b×c）

分配律 （a＋b）×c=a×c＋b×c

除法性質 a÷（b×c）=a÷b÷c

a÷（b÷c）=a÷b×c

（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c

（a－b）÷c=a÷c－b÷c

商不變性質m≠0 a÷b=（a×m）÷（b×m） =（a÷m）÷（b÷m）

■積的變化規律：在乘法中,一個因數不變,另一個因數擴大（或縮小）若幹倍,積也擴大（或縮小）相同的倍數.

推廣：一個因數擴大A倍,另一個因數擴大B倍,積擴大AB倍.

一個因數縮小A倍,另一個因數縮小B倍,積縮小AB倍.

■商不變規律：在除法中,被除數和除數同時擴大（或縮小）相同的倍數,商不變.

推廣：被除數擴大（或縮小）A倍,除數不變,商也擴大（或縮小）A倍.

被除數不變,除數擴大（或縮小）A倍,商反而縮小（或擴大）A倍.

■利用積的變化規律和商不變規律性質可以使一些計算簡便.但在有餘數的除法中要注意餘數.

如：8500÷200= 可以把被除數、除數同時縮小100倍來除,即85÷2= ,商不變,但此時的餘數1是被縮小100被後的,所以還原成原來的餘數應該是100.

簡易方程

■用字母表示數

用字母表示數是代數的基本特點.既簡單明了,又能表達數量關系的一般規律.

■用字母表示數的注意事項

1、數字與字母、字母和字母相乘時,乘号可以簡寫成“•“或省略不寫.數與數相乘,乘号不能省略.

2、當1和任何字母相乘時,“ 1” 省略不寫.

3、數字和字母相乘時,将數字寫在字母前面.

■含有字母的式子及求值

求含有字母的式子的值或利用公式求值,應注意書寫格式

■等式與方程

表示相等關系的式子叫等式.

含有未知數的等式叫方程.

判斷一個式子是不是方程應具備兩個條件：一是含有未知數；二是等式.所以,方程一定是等式,但等式不一定是方程.

■方程的解和解方程

使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫方程的解.

求方程的解的過程叫解方程.

■在列方程解文字題時,如果題中要求的未知數已經用字母表示,解答時就不需要寫設,否則首先演将所求的未知數設為x.

■解方程的方法

1、直接運用四則運算中各部分之間的關系去解.如x-8=12

加數 加數=和 一個加數=和－另一個加數

被減數－減數=差 減數=被減數－差 被減數=差＋減數

被乘數×乘數=積 一個因數=積÷另一個因數

被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=除數×商

2、先把含有未知數x的項看作一個數,然後再解.如3x 20=41

先把3x看作一個數,然後再解.

3、按四則運算順序先計算,使方程變形,然後再解.如2.5×4-x=4.2,

要先求出2.5×4的積,使方程變形為10-x=4.2,然後再解.

4、利用運算定律或性質,使方程變形,然後再解.如：2.2x＋7.8x＝20

先利用運算定律或性質使方程變形為（2.2＋7.8）x＝20,然後計算括号裡面使方程變形為10x＝20,最後再解.

比和比例

■比和比例應用題

在工業生産和日常生活中,常常要把一個數量按照一定的比例來進行分配,這種分配方法通常叫“按比例分配”.

■解題策略

按比例分配的有關習題,在解答時,要善于找準分配的總量和分配的比,然後把分配的比轉化成分數或份數來進行解答

■正、反比例應用題的解題策略

1、審題,找出題中相關聯的兩個量

2、分析,判斷題中相關聯的兩個量是成正比例關系還是成反比例關系.

3、設未知數,列比例式

4、解比例式

5、檢驗,寫答語

數感和符号感

■在數學教學中發展學生的數感主要指,使學生具有應用數字表示具體的數據和數量關系的能力；能夠判定不同的算術運算,有能力進行計算,并具有選擇适當方法（心算、筆算、使用計算器）實施計算的經驗；能根據數據進行推論,并對數據和推論的精确性和可靠性進行檢驗,等等.

■培養學生的數感的目的就在于使學生學會數學地思考,學會用數學的方法理解和解釋現實問題.

■ 數感的培養有利于學生提出問題和解決問題能力的提高.學生在遇到問題時,自覺主動地與一定的數學知識和技能建立起聯系,這樣才有可能建構與具體事物相聯系 的數學模型.具備一定的數感是完成這類任務的重要條件.如,怎樣為參加學校運動會的全體運動員編号?這是一個實際問題,沒有固定的解法,你可以用不同的方 式編,而不同的編排方案可能在實用性和便捷性上是不同的.如,從号碼上就可以分辨出年級和班級,區分出男生和女生,或很快的知道一名隊員是參加哪類項目.

■ 數概念本身是抽象的,數概念的建立不是一次完成的,學生理解和掌握數的概念要經曆一個過程.讓學生在認識數的過程中,更多地接觸和經曆有關的情境和實例, 在現實的背景下感受和體驗會使學生更具體更深刻地把握數的概念,建立數感.在認識數的過程中,讓學生說一說自己身邊的數,生活中用到的數,如何用數表示周 圍的事物等,會讓學生感覺到數就在自己身邊,運用數可以簡單明了地表示許多現象.估計一頁書的字數,一本書有多少頁,一把黃豆有多少粒等,這些對具體數量 的感知與體驗,是學生建立數感的基礎,這對學生理解數的意義會有很大的幫助.

■無論在哪個學段,都應鼓勵學生用自己獨特的方式表示具體的情境中的數量關系和變化規律,這是發展學生符号感的決定性因素.

■引進字母表示,是學習數學符号、學會用符号表示具體情境中隐含的數量關系和變化規律的重要一步.盡可能從實際問題中引入,使學生感受到字母表示的意義.

第一,用字母表示運算法則、運算定律以及計算公式.算法的一般化,深化和發展了對數的認識.

第二,用字母表示現實世界和各門學科中的各種數量關系.例如,勻速運動中的速度v、時間t和路程s的關系是s=vt.

第三,用字母表示數,便于從具體情境中抽象出數量關系和變化規律,并确切地表示出來,從而有利于進一步用數學知識去解決問題.例如,我們用字母表示實際問題中的未知量,利用問題中的相等關系列出方程.

■字母和表達式在不同場合有不同的意義.如：

5=2x 1表示x所滿足的一個條件,事實上,x這裡隻占一個特殊數的位置,可以利用解方程找到它的值；

Y=2x表示變量之間的關系,x是自變量,可以取定義域内任何數,y是因變量,y随x的變換而變化；

（a b）（a－b）=a－b表示一個一般化的算法,表示一個恒等式；

如果a和b分别表示矩形的長和寬,S表示矩形的面積,那麼S=ab表示計算矩形面積公式,同時也表示矩形的面積随長和寬的變化而變化.

■如何培養學生的符号感

要盡可能在實際問題情境中幫助學生理解符号以及表達式、關系式意義,在解決實際問題中發展學生的符号感.

必須要對符号運算進行訓練,要适當地、分階段地進一定數量的符号運算.但是并不主張進行過繁的形式運算訓練.

學生的符号感的發展不是一朝一夕就可以完成的,而是應該貫穿于數學學習的全過程,伴随着學生數學思維的提高逐步發展.

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量的計算

■事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等,這些可以測定的客觀事物的特征叫做量.把一個要測定的量同一個作為标準的量相比較叫做計量.用來作為計量标準的量叫做計量單位.

■數 單位名稱=名數

隻帶有一個單位名稱的叫做單名數.

帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做複名數

高級單位的數如把米改成厘米 低級單位的數如把厘米改成米

■隻帶有一個單位名稱的數叫做單名數.如：5小時, 3千克 （隻有一個單位的）

帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做複名數.如：5小時6分,3千克500克（有兩個單位的）

56平方分米=(0.56)平方米 就是單名數轉化成單名數

560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是單名數轉化成複名數的例子.

■高級單位與低級單位是相對的.比如,"米"相對于分米,就是高級單位,相對于千米就是低級單位.

■常用計算公式表

(1)長方形面積=長×寬,計算公式s=a b

(2)正方形面積=邊長×邊長,計算公式s=a × a

(3)長方形周長：(長 寬)× 2,計算公式s=(a b)× 2

(4)正方形周長=邊長× 4,計算公式s= 4a i

(5)平形四邊形面積=底×高,計算公式s=a h．

(6)三角形面積=底×高÷2,計算公式s=a×h÷2

(7)梯形面積=(上底 下底)×高÷2,計算公式s=(a b)×h÷2

(8)長方體體積=長×寬×高,計算公式v=a bh

(9)圓的面積=圓周率×半徑平方,計算公式s=лr2

(10)正方體體積=棱長×棱長×棱長,計算公式v=a3

(11)長方體和正方體的體積都可以寫成底面積×高,計算公式v=sh

(12)圓柱的體積=底面積×高,計算公式v=s h

■1年12個月(31天的月份有1、3、5、7、8、10、12月份,30天的月份有4、6、9、11．月份,平年2月28天,閏年2月29天

■閏年年份是4的倍數,整百年份須是400的倍數.

■平年一年365天,閏年一年366天.

■公元1年—100年是第一世紀,公元1901—2000是第二十世紀.

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平面圖形的認識和計算

■三角形

1、三角形是由三條線段圍成的圖形.它具有穩定性.從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.一個三角形有三條高.

2、三角形的内角和是180度

3、三角形按角分,可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形

4、三角形按邊分,可以分為：等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形

■四邊形

1、四邊形是由四條線段圍成的圖形.

2、任意四邊形的内角和是360度.

3、隻有一組對邊平行的四邊形叫梯形.

4、兩組對邊分别平行的四邊形叫平行四邊形,它容易變形.長方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長方形.

■圓

圓是平面上的一種曲線圖形.同圓或等圓的直徑都相等,直徑等于半徑的2倍.圓有無數條對稱軸.圓心确定圓的位置,半徑确定圓的大小.

■扇形 由圓心角的兩條半徑和它所對的弧圍成的圖形.扇形是軸對稱圖形.

■軸對稱圖形

1、如果一個圖形沿着一條直線對折,兩邊的圖形能夠完全重合,這個圖形叫做軸對稱圖形；這條窒息那叫做對稱軸.

2、線段、角、等腰三角形、長方形、正方形等都是軸對稱圖形,他們的對稱軸條數不等.

■周長和面積

1、平面圖形一周的長度叫做周長.

2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積.

3、常見圖形的周長和面積計算公式

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