自從導數相關知識内容進入高中數學課本以來，因其能使很多複雜問題變得簡便化，大大提高解題效率，自然成為老師和學生重點學習方法，更受到高考數學命題老師的青睐。

我們對近幾年的高考數學試卷進行分析和研究，與導數知識有關的題型已成為高考數學的熱點，其運用非常廣泛。常見的考點有函數的單調性、函數的最值、切線方程及不等式等問題，能夠很好的考查學生實踐能力，體現了高考選拔人才的功能。

像函數的單調性主要講以下這些知識内容：

在(a，b)内可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區間内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上為增函數．

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上為減函數．

值得注意，由于近年來高考數學的導數與函數問題都與字母系數問題聯系在一起，直接增加了題目的難度，讓很多考生感到無從下手。

近幾年的高考數學，無論是全國卷還是各省市卷，都在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大。

導數相關的高考數學題，講解分析1：

已知函數f(x)＝(2－a)ln x＋1/x＋2ax(a∈R)．

(1)當a＝0時，求f(x)的極值；

(2)求f(x)的單調區間．

解：(1)∵當a＝0時，f(x)＝2ln x＋1/x，

f′(x)＝2/x－1/x²＝（2x－1）x²(x>0)，

∴f(x)在（0,1/2）上是減函數，在（1/2， ∞）上是增函數．

∴f(x)的極小值為f（1/2）＝2－2ln 2，無極大值．

(2)f′(x)＝（2－a）/x－1/x²＋2a＝（2x－1）（ax 1）/x²(x>0)．

①當a≥0時，f(x)在（0,1/2）上是減函數，在（1/2， ∞）上是增函數；

②當－2<a<0時，f(x)在（0,1/2）和（－1/a， ∞）上是減函數，在（1/2，－1/a）上是增函數；

③當a＝－2時，f(x)在(0，＋∞)上是減函數；

④當a<－2時，f(x)在（1/2， ∞）和（0，－1/a）上是減函數，在（－1/a，1/2）上是增函數．

如何求函數的極值？

1、函數的極小值：

函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．

2、函數的極大值：

函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．

極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．

導數相關的高考數學題，講解分析2：

設函數f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.

(1)當p＝1時，求函數f(x)的單調區間；

(2)設函數g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)，對任意x≥1都有g(x)≤0成立，求p的取值範圍．

解：(1)當p＝1時，f(x)＝ln x－x＋1，其定義域為(0，＋∞)．

所以f′(x)＝1/x－1.

由f′(x)＝1/x－1>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1.

所以函數f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)．

(2) 由函數g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)＝xln x＋p(x²－1)(x>0)，

得g′(x)＝ln x＋1＋2px.

由(1)知，當p＝1時，f(x)≤f(1)＝0，

即不等式ln x≤x－1成立．

①當p≤－1/2時，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(1＋2p)x≤0，

即函數g(x)在[1，＋∞)上單調遞減，從而g(x)≤g(1)＝0，滿足題意；

②當－1/2<p<0時，若x∈（1，－1/2p），則ln x>0，1＋2px>0，

從而g′(x)＝ln x＋1＋2px>0，即函數g(x)在（1，－1/2p）上單調遞增，從而存在x₀∈（1，－1/2p）使得g(x₀)>g(1)＝0，不滿足題意；

③當p≥0時，由x≥1知g(x)＝xln x＋p(x²－1)≥0恒成立，此時不滿足題意．

綜上所述，實數p的取值範圍為（－∞，－1/2）

什麼是函數的最值？

1、在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．

2、若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．

​導數相關的高考數學題，講解分析3：

設f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－1/2對稱，且f′(1)＝0.

(1)求實數a，b的值；

(2)求函數f(x)的極值．

解：(1)因為f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1，

故f′(x)＝6x²＋2ax＋b，

從而f′(x)＝6（x a/6）²＋b－a²/6，

即y＝f′(x)關于直線x＝－a/6對稱．

從而由題設條件知－a/6＝－1/2，即a＝3.

又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，

得b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x³＋3x²－12x＋1，

所以f′(x)＝6x²＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，

令f′(x)＝0，

即6(x－1)(x＋2)＝0，

解得x＝－2或x＝1，

當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，

即f(x)在(－∞，－2)上單調遞增；

當x∈(－2,1)時，f′(x)<0，

即f(x)在(－2,1)上單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，

即f(x)在(1，＋∞)上單調遞增．

從而函數f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝21，

在x＝1處取得極小值f(1)＝－6.

掌握好導數相關知識，可以幫助我們在解一些函數問題、不等式問題、解析幾何問題等問的時候，提供了新的視角、新 的方法，拓寬了高考的命題空間。

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