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文章來源：中考網

第一章 證明

一、等腰三角形

1、定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。

2、性質：

⑴ 等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)

⑵ 等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(“三線合一”)

⑶ 等腰三角形的兩底角的平分線相等。(兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等)

⑷ 等腰三角形底邊上的垂直平分線上的點到兩條腰的距離相等。

⑸ 等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。

⑹ 等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高。(可用等面積法證)

⑺等腰三角形是軸對稱圖形，隻有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。

3、判定：在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱：等角對等邊)。

• 特殊的等腰三角形——等邊三角形

1、定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，又叫做正三角形。

(注意：若三角形三條邊都相等則說這個三角形為等邊三角形，而一般不稱這個三角形為等腰三角形)。

2、 性質 ：

⑴ 等邊三角形的内角都相等，且均為60度。

⑵ 等邊三角形每一條邊上的中線、高線和每個角的角平分線互相重合。

⑶ 等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線。

3、判定：

⑴ 三邊相等的三角形是等邊三角形。

⑵ 三個内角都相等的三角形是等邊三角形。

⑶ 有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

⑷ 有兩個角等于60度的三角形是等邊三角形。

二、直角三角形全等

1.直角三角形全等的判定有5種：

⑴ 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;(ASA)

⑵ 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等;(SAS)

⑶ 三邊對應相等的兩個三角形全等;(SSS)

⑷ 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等;(AAS)

⑸ 斜邊及一條直角邊對應相等的兩個三角形全等;(HL)

2、在直角三角形中，如有一個内角等于30o，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半

3、在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

4、垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。

性質：線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。

判定：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

5、三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等，交點為三角形的外心。

6、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

7、在角内部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。

8、 角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

9、三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的内心。

10、三角形三條中線交于一點，交點為三角形的重心。

11、三角形三條高線交于一點，交點為三角形的垂心。

三、平行四邊的定義

1、定義：兩線對邊分别平行的四邊形叫做平行四邊形，

2、性質：

⑴ 平行四邊形的對邊相等。

⑵ 對角相等。

⑶ 對角線互相平分。

3、判定：

⑴ 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

⑵ 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

⑶ 兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形。

⑷ 兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形。

⑸ 一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

⑹ 一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形。

• 兩個假命題

⑴ 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。

⑵ 一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

四、矩形

1、定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

2、性質：

⑴ 具有平行四邊形的性質，

⑵ 對角線相等，

⑶ 四個角都是直角。

⑷ 矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸。

3、判定：

⑴ 有三個角是直角的四邊形是矩形。

⑵ 對角線相等的平行四邊形是矩形。

五、菱形

1、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、性質：

⑴ 具有平行四邊形的性質,

⑵ 四條邊都相等,

⑶ 兩條對角線互相垂直,每一條對角線平分一組對角。

⑷ 菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

3、判定：

⑴ 四條邊都相等的四邊形是菱形。

⑵ 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

⑶ 一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。

六、 正方形

1、定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。

3、判定：

⑴ 有一個内角是直角的菱形是正方形;

⑵ 有一組鄰邊相等的矩形是正方形;

⑶ 對角線相等的菱形是正方形;

⑷ 對角線互相垂直的矩形是正方形。

七、梯形

定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

八、 等腰梯形

1、定義：兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、性質：等腰梯形同一底上的兩個内角相等，對角線相等。

3、 同一底上的兩個内角相等的梯形是等腰梯形。

九、三角形的中位線

1、定義：連接三角形兩邊中點的線段。

2、性質：平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

十、梯形的中位線

1、定義：連接梯形兩腰中點的線段。

2、性質：平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

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