一、橢圓方程.

1. 橢圓方程的第一定義：

|PF₁| |PF₂|=2a>|F₁F₂|方程為橢圓

|PF₁| |PF₂|=2a<|F₁F₂|無軌迹

|PF₁| |PF₂|=2a=|F₁F₂|以F₁,F₂為端點的線段

⑴①橢圓的标準方程：

i. 中心在原點，焦點在x軸上：x²/a² y²/b²=1(a>b>0). ii. 中心在原點，焦點在y軸上：y²/a² x²/b²=1(a>b>0).

②一般方程：Ax² By²=1(A>0,B>0)

③橢圓的标準參數方程：x²/a² y²/b²=1的參數方程為{x=acosθ.y=bsinθ.（一象限θ應是屬于0<θ<π/2）.

⑵①頂點：(±a,0)(0,±b)或(0,a±)(±b,0)

②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b

③焦點：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c)

④焦距：|F₁F₂|=2c,c=√(a²-b²)

⑤準線：x=±a²/c或y=±a²/c

⑥離心率：e=c/a(0<e<1)

⑦焦點半徑：

i.設P(x0.y0) 為橢圓x²/b² y²/a²=1上的一點，F₁,F₂為左、右焦點，則|PF₁|=a ex0,|PF₂|=a-ex0=>由橢圓方程的第二定義可以推出.

ii.設P(x0,y0)為橢圓x²/b² y²/a²=1(a>b>0)上的一點，F₁,F₂為上、下焦點，則|PF₁|=a ey0,|PF₂|=a-ey0=>由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：|pF₁|=e(x0 a²/c)=a ex0(x0<0),|pF₂|=e(a²/c-x0)=ex0-a(x0>0)歸結起來為“左加右減”.

注意：橢圓參數方程的推導：得N(acosθ,bsinθ)→方程的軌迹為橢圓.

⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經.坐标：d=2b²/a²(-c,b²/a)和(c,b²/a)

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓x²/a² y²/b²=1(a>b>0)的離心率是e=c/a(c=√(a²-b²))，方程x²/a² y²/b²=t(t是大于0的參數，a>b>0)的離心率也是e=c/a 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

⑸若P是橢圓：x²/a² y²/b²=1上的點.F₁,F₂為焦點，若∠F₁PF₂=θ，則△F₁PF₂的面積為b²tanθ/2（用餘弦定理與|PF₁| |PF₂|=2a可得）. 若是雙曲線，則面積為b²·cotθ/2.

二、雙曲線方程.

1. 雙曲線的第一定義：

||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|方程為雙曲線

||PF₁|-|PF₂||=2a>|F₁F₂|無軌迹

||PF₁|-|PF₂||=2a=|F₁F₂|以F₁,F₂的一個端點的一條射線

⑴①雙曲線标準方程：x²/a²-y²/b²=1(a,b>0),y²/a²-x²/b²=1(a,b>0). 一般方程：Ax² Cy²=1(AC<0).

⑵①i. 焦點在x軸上：

頂點：(a,0),(-a,0) ;焦點：(c,0),(-c,0）;準線方程x=±a²/c; 漸近線方程：x/a±y/b=0或x²/a²-y²/b²=0.

ii. 焦點在y軸上：

頂點：(0,-a),(0,a). 焦點：(0,c),(0,-c). 準線方程：y=±a²/c. 漸近線方程：y/a±x/b=0或y²/a²-x²/b²=0，參數方程：{x=secθ,y=btanθ或{x=btanθ,y=asecθ .

②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c.

③離心率e=c/a.

④準線距2a²/c（兩準線的距離）；通徑2b²/a.

⑤參數關系c²=a² b²,e=c/a.

⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程x²/a²-y²/b²=1（F₁,F₂分别為雙曲線的左、右焦點或分别為雙曲線的上下焦點）

“長加短減”原則：

⑶等軸雙曲線：雙曲線x²-y²=±a²稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x，離心率e=√2.

⑷共轭雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共轭雙曲線.x²/a²-y²/b²=λ與x²/a²-y²/b²=-λ互為共轭雙曲線，它們具有共同的漸近線：x²/a²-y²/b²=0.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：x²/a²-y²/b²=λ(λ≠0)的漸近線方程為x²/a²-y²/b²=0如果雙曲線的漸近線為x/a±y/b=0時，它的雙曲線方程可設為x²/a²-y²/b²=λ(λ≠0).

例如：若雙曲線一條漸近線為y=1/2x且過p(3,-1/2)解：令雙曲線的方程為：

解：令雙曲線的方程為：x²/4-y²=λ(λ≠0)，代入(3,-1/2)得x²/8-y²/2=1.

⑹直線與雙曲線的位置關系：

區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；

區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；

區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求确定直線的斜率可用代入△法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同号.

⑺若P在雙曲線x²/a²-y²/b²=1，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m︰n.

簡證：d₁/d₂=|PF₁|/e/|PF₂|/e = m/n.

常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.

三、抛物線方程.

3. 設p>0，抛物線的标準方程、類型及其幾何性質：

注：①ay² by c=x頂點((4ac-b²)/4a-b/2a).

②y²=2px(p≠0)則焦點半徑|PF|=|x P/2|;x²=2py(p≠0)則焦點半徑為|PF|=|y p/2|.

③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

④y²=2px（或x²=2py）的參數方程為{x=2pt²,y=2pt（或{x=2pt,y=2pt²）（t為參數）.

四、圓錐曲線的統一定義..

4. 圓錐曲線的統一定義：平面内到定點F和定直線ι的距離之比為常數e的點的軌迹.

當0<e<1時，軌迹為橢圓；

當e=1時，軌迹為抛物線；

當e>1時，軌迹為雙曲線；

當e=0時，軌迹為圓（e=c/a，當c=0,a=b時）.

5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的标準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱的.

因為具有對稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點重合即可.

注：橢圓、雙曲線、抛物線的标準方程與幾何性質

1. 橢圓、雙曲線、抛物線的标準方程的其他形式及相應性質.

2. 等軸雙曲線

3. 共轭雙曲線

5. 方程y²=ax與x²=ay的焦點坐标及準線方程.

6.共漸近線的雙曲線系方程.

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