不管是前幾季的天才林建東，還是這一季剛剛結束比賽的七階立方三位數字找質數的題目，都涉及到我們從小學就開始學習到的質數。

本講黃老師再把質數的一些概念性的東西拎出來再講一下：

質數又稱素數。指整數在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，隻有兩個正因數（1和自己）的自然數即為素數。

比1大但不是素數的數稱為合數。

1和0既非素數也非合數。

對于七階立方三位數字找質數的題目，我們如果能背下質數表，就會相對加快一些計算速度：

質數的分布規律是以36N（N 1）為單位，随着N的增大，素數的個數以波浪形式漸漸增多。

S1 從1至72有20個(即36×1×(1 1)=72)：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

S2從73至216有27個(即36×2×(2 1)=216，下同)：

73 79 83 89 97

101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211

S3 從217至432有36個：

223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431

S4從433至730有45個：

433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719

S5從721至1080有52個：

727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797

809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887

907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069

所以，1000以内的質數總數=20 27 36 45 52-12=168個

如果背下來這個質數表，最強大腦中連質數都找不對，就有些不應該了。

對于小學生，100以内的質數是一定要掌握的，一共25個！

關于質數的多種猜想（注意：猜想是未經證明，但目前無人能舉出反例）：

1、黎曼猜想。 黎曼通過研究發現， 素數分布的絕大部分猜想都取決于黎曼zeta函數ζ（s）的零點位置。他猜測那些非平凡零點都落在複平面中實部為1/2的直線上， 這就是被譽為千禧年世界七大數學難題之一的黎曼猜想， 是解析數論的重要課題。

2、孿生素數猜想。 如果p和p 2都是素數， 那麼就稱他們為孿生素數。一個重要的問題就是：是否存在無限多對孿生素數？美國華人張益唐對這個問題的解決邁出了重要一步，他證明了有無窮多對差小于七千萬的素數。之後大家不斷改進他的證明，現在這個七千萬已經縮小到246.

3、哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture)

（a）所有的不小于6的偶數，都可以表示為兩個奇素數之和 (一般用代号“1 1”表示)。

（b）每個不小于9的奇數都可以表示為三個奇素數之和。

當然，還有一些關于費馬定理、威爾遜定理等，但這些過于深奧，我們暫時學習不了。

質數的性質包括：

1、任何一個大于1的自然數都可以分解成幾個素數連乘積的形式，而且這種分解是唯一的。大于1且第一個能被該自然數整除的數肯定是該分解中最小的素因子。

2、質數p的約數隻有兩個：1和p。

3、質數的個數是無限的。

4、質數的個數公式 是不減函數。

5、若n為正整數，在n^2到(n 1)^2之間至少有一個質數

6、若n為大于或等于2的正整數，在n到2n之間至少有一個質數。

7、所有大于10的質數中，個位數隻有1,3,7,9。

說到質數，不得不提互質。

什麼叫互質：

公約數隻有1的兩個數，叫做互質數。”這裡所說的“兩個數”是指自然數

判别方法主要有以下幾種（不限于此）：

1、兩個質數一定是互質數。例如，2與7、13與19。

2、一個質數如果不能整除另一個合數，這兩個數為互質數。例如，3與10、5與26。

3、1不是質數也不是合數，它和任何一個自然數在一起都是互質數。如1和9908。

4、相鄰的兩個自然數是互質數。如15與16。

5、相鄰的兩個奇數是互質數。如49與51。

6、大數是質數的兩個數是互質數。如97與88，71與35。

7、小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。如7和16。

8、兩個數都是合數（二數差又較大），小數所有的質因數，都不是大數的約數，這兩個數是互質數。如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數，這兩個數為互質數。等等。

9、2和任意奇數互質

此講講了很多需要記住的東西，如果記住這些，做題時速度會加快，正确率也會提高。

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