數學通常被視作人類抽象思維最純粹的表達，但它同時也是一門自由創新的藝術，這種兼而有之的臨界性實際上是人類最本質能力的體現。數學是由抽象概念、純數字、理想形、公理以及代數等式構成的世界，數學究竟怎樣才能與藝術融合碰撞出火花？藝術家筆下的數學又有怎樣的新奇？

數學思維藝術的啟蒙

數字和數學最初的概念來自于現實世界，來自于人和動物、石頭、土地——古埃及壁畫中就描繪了記錄官丈量麥田的場景。對古人而言，數字是實在的，數學也是實用的。計數應該說是最早的數學思維，那麼計數到底指的是什麼呢？其實，早期計數的概念可能隻涉及“質”而不涉及“量”，也就是說，它一定會涉及具體形象的實物，而不像現代數學那樣抽象。

古埃及壁畫中記錄官員丈量麥田的圖景

史前時代與最初的文明孕育出了數學的概念，并被人們運用在實際生活中（如瑪雅人的“結繩記事”等），因此在人類曆史上，古典時代之前的數學主要着眼于數牲口、丈量土地、糧食稱重以及房屋建築等。而古代希臘、埃及、巴比倫、中國和印度等文明也共同為算術、幾何學、代數學和數論的形成打下了基礎。下邊這幅漫畫表明，在生物界，也隻有進化到一定階段的人類，才有可能開始用數學表達對世界的抽象認識。

人類本質能力的高峰（漫畫）

而下面這幅中世紀的版畫，則驗證了畢達哥拉斯學派的理論——“比例”在數學與音樂中應該是一種共用的形式。

畢達哥拉斯的通用數字比例（版畫）

作為享譽世界的古希臘數學家、音樂家，畢達哥拉斯應該算作是人類曆史有記載以來的第一位純粹的數學家，他 第一個運用演繹的數學方法證明了千古流芳的數學定理：a2 b2=c2（“畢達哥拉斯定理”又稱“勾股定理”）；同時他也是第一個證明數字比例既可用來計算又可進行音樂創作的人。他在試驗中發現，當弦的長度之比為整數，撥動琴弦時會産生和諧的音調，似乎是一條普适的規律。他開始意識到撥動不同長度的琴弦時會産生不同的樂感。如果說數學中存在美感，那麼，将數學法則應用于音樂，則應該會有悅耳之聲響起。一些見解獨到的研究者認為，數學是賦予不同事物相同名稱的藝術——它在其中展現了不同于其他科學的、創造性的自由。數學家的唯美理想甚至蘊含着一種連十二音音樂亦不能與之媲美的特殊嚴謹性。

數學藝術的表達者

法國數學家笛卡兒，因将幾何坐标體系公式化而被公認為解析幾何之父，他的思想理性但行為藝術——這正是一位大數學家所應具備的特質。傳統解析幾何對于運動的物體無能為力，而在與變量有關的廣闊天地裡，解析幾何卻大有用武之地。現代許多高新技術産品的設計造型都離不開數學中曲線方程的應用，如飛機、船舶、航天器等。人們有時都不知道其中優美曲線的産生是遵循誰發明的方程形式去進行的。

在下圖中，笛卡兒讓人們知道了他及其所創立的解析幾何之衆多曲線；而另一幅畫描繪的是一位藝術家筆下的數學，“‘雞’算”等式，計算結果竟然得到一個“零‘蛋’”，這真是一個絕妙的開方等式，也說明了數學家與藝術家的一體兩面性。

笛卡兒幾何下的諸多美妙曲線（繪圖：劉夕慶）

藝術家筆下的“雞”算等式

以“華氏定理”“華氏不等式”等享譽國際數學界的中國現代著名數學家華羅庚在《從祖沖之的圓周率談起》中說道：“祖沖之不僅是一位數學家，同時還通曉天文曆法、機械制造、音樂，并且還是一位文學家。祖沖之制定的《大明曆》，改革了曆法，他将圓周率算到了小數點後7位，是當時世界上最精确的圓周率數值，而他創造的‘密率’聞名于世。”

郵票畫上地的兩位享譽世界的中國古今數學家——祖沖之和華羅庚

數學應用的藝術

現代學者普遍認為，數學中一些最重要的創新可以被形容為對既有範式的突破。人們突然意識到，可以用另一種眼光看待已知事物而産生的數學進步，比如把變量引入計算就是一種創新。這種自由大膽的思維轉變正是數學所倡導的，也是應用數學呈現給工程師、物理學家或其他使用者的東西。所以，數學的自由創新與實際運用都是藝術與科學聯手的結果。

“會計之父”帕喬利（左）教導學生運用數學解決實際問題的畫作

意大利人帕喬利憑借經典數學應用之作《計算與寫作》，被尊稱為“會計之父”。他在這本著作中描述了許多沿用至今的會計學要點，比如試算平衡表。在這種方法中，前一年分類賬中借方的金額被記錄在平衡表的左邊，而貸方金額則記錄在右邊。如果總數能夠平衡，那麼這本賬就被認為是平衡的，否則就是不平衡的。

南丁格爾利用玫瑰圖更加直觀地統計不同類别傷員數

長得像餅圖又不是餅圖，長得像堆積簇狀圖又非簇狀圖，這種有着極坐标的怪異統計圖，有着一個美麗的名字——南丁格爾玫瑰圖。它的發明者是護士行業的創始人兼統計學家南丁格爾。在南丁格爾護士生涯中，為了讓數據能夠更加形象生動，令人印象深刻，她創造了一種色彩缤紛的圖表形式。圖表的展現形式，存在一個圓心，以扇區來展示數據的大小或比重。其與傳統餅圖的區别在于，南丁格爾玫瑰圖既可以使用扇區的面積來區分數據的大小，也可以使用不同扇區半徑的長短來區分數據的大小，因而比普通餅圖更直觀易讀。

本文來自《知識就是力量》雜志，原标題《數學——自由創新的藝術》，作者劉夕慶，有删改，原創作品轉載請注明來源。

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