函數的奇偶性和周期性的判斷?一、函數的奇偶性1.定義：，我來為大家科普一下關于函數的奇偶性和周期性的判斷?以下内容希望對你有幫助!

函數的奇偶性和周期性的判斷

一、函數的奇偶性

1.定義：

對于函數f(x)，如果對于定義域内任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼f(x)為奇函數;

對于函數f(x)，如果對于定義域内任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)為偶函數;

2.性質：

(1)函數依據奇偶性分類可分為：奇函數非偶函數，偶函數非奇函數，既奇且偶函數，非奇非偶函數;

(2) f(x),g(x)的定義域為D;

(3)圖象特點：奇函數的圖象關于原點對稱;偶函數的圖象關于原點對稱;

(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數f(x)在原點處有定義，則有f(0)=0;

(5)任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)總可以表示為一個奇函數與偶函數的和的形式：f(x)=g(x) h(x)，其中g(x)=-[f(x) f(-x)]為偶函數，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數;

(6)奇函數在關于原點對稱的區間具有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間具有相反的單調性。

3.判斷方法：

(1)定義法

(2)等價形式：

f(-x) f(x)=0，f(x)為奇函數;

f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數。

4.拓展延伸：

(1)一般地，對于函數y=f(x)，定義域内每一個自變量x，都有f(a x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱;

(2)一般地，對于函數y=f(x)，定義域内每一個自變量x都有f(a x)=f(a-x)，則它的圖象關于x=a成軸對稱。

二、函數的周期性：

1.定義：

對于函數y=f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當自變量x取定義域内的每一個值時，都有f(x)=f(x T)成立，那麼就稱函數y=f(x)為周期函數。

2.圖象特點：

将函數y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數倍個單位，所得的函數圖象與函數y=f(x)的圖象重合。

3.函數圖象的對稱性與周期性的關系：

(1)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=f(a-x)且f(b x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|)

(2)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：2|a-b|)

(3)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為：4|a-b|)

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