本文參與遇見數學＃數學蒲公英＃第3次征文活動，作者殷堰工.

“談到數學，有人會把它理解為一堆枯燥無味的數學公式，這幾乎成為一種普遍的傾向。數學真的那麼枯燥無味嗎？不，數學的世界是一個充滿了美的世界：數的美、式的美、形的美……。在這裡，我們可以感受到協調、比例、整一盒勻稱；我們也可以感受到布局的合理，結構的嚴謹，關系的和諧以及形式的簡潔。”這是筆者早在 1996 年 5 月 10 日以“美哉，數學”為題發表在科技類國家級主流媒體《中國科學報》上文章的引言，旨在應證“數學是一種大美”這個主題。隻是由于當時認知的局限，對數學之美的感受僅是停留在表象，沒有理解數學模型方法所産生的深層次美感，文中也就無從提起了。

衆所周知，數學具有高度抽象性，嚴密邏輯性和廣泛應用性等三大特性，其中，應用性是數學這門科學旺盛生命力的集中顯現，數學大師華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學”。這段話，精辟概括了數學應用的廣泛性。數學應用于經濟社會的方方面面，關鍵在于數學建模，數學模型方法已成為最為重要且引人注目的數學方法。近期人們廣為關注的新冠病毒傳播的研究，就是數學家們運用數學模型進行科學預測、科學決策的良好例證。國家頂尖學術刊物《中國科學》雜志載文認為：數學模型在新型冠狀病毒肺炎（COVID—19）疫情的預測、預警和風險分析中具有非常重要的作用。

那麼，什麼是數學模型方法？要回答這個問題，首先需要了解什麼是模型？數學模型又是什麼？所謂模型，就是人們為了某種特定的目的，對認識對象所作的一種簡化的描述。按照百度百科的定義：數學模型是用符号、函數關系将評價目标和内容系統規定下來，并把互相間的變化關系通過數學公式表達出來。數學模型屬于應用數學，它涉及到純數學與其他學科的交互作用。以此可以解釋：數學模型方法是利用符号、函數關系将評價目标和内容系統規定下來，并把互相間的變化關系通過數學公式表達出來的一種方法。可以這樣說，數學模型是聯系數學和實際問題的橋梁，數學模型方法實際上就是用數學模型解決實際問題的一種方法。由此可見，對我們來說，重要的是怎樣建立數學模型。換個說法，就是建立數學模型的全過程。為此，有必要了解一下數學建模的基本步驟：

由這個框圖可見，數學建模是從問題開始的，它是一種創造性活動，是為了解決因社會發展的需要而提出來的各種問題。正因為數學建模的重要，對數學建模的研究堪稱如火如荼，呈星火燎原之勢也就是順理成章的事了。如果以“數學建模方法”為關鍵詞百度一下的話，謂之《數學建模》《數學建模方法》《數學建模理論與方法》《數學建模方法與分析》《數學建模方法及其應用》等的書籍林林總總，不下數十部，筆者手頭就有一本《中學數學應用與建模》（蘇州大學出版社，2001）的書，該書的作者是同行友人、蘇州大學《中學數學月刊》主編徐稼紅教授。至于相關期刊上發表的涉及數學建模的論文更是數以萬計，作為對此有過專門研究并在學院親自開設這門課程的徐先生，就曾在國内數學教育的權威刊物《數學教育學報》2000 年第 1 期發表了“開設‘中學數學建模’課程的實踐與認識”的專題論文。值得欣慰的是為推動數學建模方法的應用而設置的全國大學生數學建模競賽、全國研究生數學建模競賽已經成了各高校選拔人才的重要平台。數學模型方法以其在社會經濟各個領域中顯示出的巨大威力正受到越來越多有識之士的青睐，逐漸成為人們喜聞樂見、屢試不爽的有效方法。

革命導師馬克思說過：“人類是按美的規律去改造世界的。”由此讓人想到了格言：美是真理的光輝。對于數學模型方法，我們似乎可以用簡捷的統一美來形容。這種統一美反映的是審美對象在形式或内容上的某種共同性、關聯性或一緻性，它能給人一種整體和諧的美感，具體表現為數學方法的統一，這裡特指數學模型方法。而這種統一于數學模型的方法帶來的是其獨有的應用之美，是一種直入心扉、至高深層的大美。“數學建模讓我們看到了數學解決問題的魔力，體會了一種震撼心靈的美”，這是全國大學生數學建模競賽曾經的一等獎獲得者團隊發出的至深感言，誠哉斯言！這裡謹以數學解題為例予以說明。

早在上個世紀九十年代，筆者就在中文核心期刊《數學通報》（1994.4）上以“模型與解題”為題發文，文中寫道：“模型方法是一種經典的方法，并非數學所獨有，随着科學技術的數學化趨勢，使得模型方法早已超越出了數學的範疇，它廣泛地應用于自然科學、工程技術與社會科學的一切領域中。就數學而言，模型方法早已成為一種獨特的數學方法。”

數學模型方法之美，就在于它把各類問題有機地統一于各個不同的數學模型之中，使得形式各異的問題變得容易通過數學方法予以解決。這裡所說的數學模型，有幾何模型、代數模型、規劃模型、優化模型、微分方程模型、統計模型、概率模型、圖論模型、決策模型等等。就解決數學問題，或者說是解數學題的模型而言，則有函數模型、方程模型、不等式模型、數列模型、三角模型、集合模型等，而在函數模型中，又可分為一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型、分段函數模型等等。

數學史上運用數學建模方法解決實際問題的例子比比皆是，著名的哥尼斯堡七橋問題便是一個光輝的例證。事實上，大數學家歐拉非常巧妙的将“普雷格爾河穿城而過，并繞流河中一座小島而分成兩支，河上建了 7 座橋。當地居民想設計一次散步，從某處出發，經過每座橋回到原地，中間不重複”這個不可能問題轉變成一個數學模型，用點和線畫出網絡狀圖，證明這種走法不存在，從而解決了這個長期困擾人們的七橋問題。這個“一筆畫”問題的研究和解決，不僅充分體現了拓撲學的思想，而且引發了數學新分支——圖論的誕生，在更大意義上引導了圖論和拓撲學的發展，折射出數學模型方法應用美的光芒。

必須指出，數學模型方法是近代才産生的，我們不妨以衆人悉知的初等數學解題為例，說明數學模型方法的美妙之處。依據是筆者曾以“對數學解題的認識與思考”為題在《中學數學月刊》2012 年第 3 期上撰文，文中從審美直覺這種形态層面探讨了解題，所舉的例子也是較有代表性的，可參閱。茲試舉例如下： 問題：圍建一個面積為 360m² 的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊牆（利用舊牆需維修），其它三面圍牆要新建，在舊牆對面的新牆上要留一個寬度為 2m 的進出口，如圖所示，已知舊牆的維修費用為 45 元/m,新牆的造價為 180 元/m，設利用的舊牆長度為 x(單位：m)，修建此矩形場地圍牆的總費用為 y（單位：元)。

（1）将 y 表示為 x 的函數；

（2）試确定 x，使修建此矩形場地圍牆的總費用最小，并求出最小總費用。

先由問題所給定的材料尋找量與量之間的内在聯系，再建立起數學模型。

（1）設矩形的另一邊長為 m，則

由已知 x a=360， 得 a=360/x ，所以

此函數比較複雜，抛開常數項，觀察發現具有自變量 x 的另外兩項呈現出 x 的倒數形式，審美直覺下，容易想到兩項相乘就可去掉 x，于是設法建立或者應用數學模型。

（2）

這裡用到了基本不等式模型：a² b²≥2ab（a，b 為實數）推出的又一個數學模型：

隻是在這個模型中，條件有所變化，就是 a，b 都為正數了。

∴ y = 225 x 360²/x-360 ≥ 10440，當且僅當 225 x = 360²/x 時，等号成立。

即當 x=24m 時，修建圍牆的總費用最小，最小總費用是 10440 元。

有意思的是，用這個基本不等式模型，可以解決類似的問題。比如，

1． 某遊泳館出售冬季學生遊泳卡，每張卡 240 元.并規定不記名，每卡每次隻限 1 人，每天隻限 1 次.某班有 48 名學生，教師準備組織學生集體冬泳，除需要購買若幹張遊泳卡外，每次去遊泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少學生，每次的包車費為 40 元.要使每個學生遊 8 次，每人最少交多少錢？

2． 某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分别為 、 (單位： )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積為 . 問 、 分别為多少(精确到 0.001m) 時用料最省?

這或許就是數學模型方法在多題一解上的生動體現吧！更進一步地，運用此基本不等式模型，可以解決數學中一類不等式證明、求代數式的最值等問題。甚或還可以解決涉及其它知識點的問題。像，“若直線 x/a y/b = 1(a>0，b>0) 過點(1，1)，則 a b 的最小值等于( )”就是聯系解析幾何的題目，曾經選為福建 2015 年的中考題呢！

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