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怎樣用微積分求球體的表面積

圖文更新时间:2024-12-24 20:25:48

編者說明：因文章内含有數學公式無法正常上傳，故包含公式的部分内容改為截圖的方式分享，以保證格式的正确性。對讀者造成不便敬請海涵。

本文采用微積分的方法來推導球體的體積公式。

球體的體積公式：

怎樣用微積分求球體的表面積（用三種微積分的方式推導球體體積公式）1

式中：v—球體體積，R—球體半徑。

本文根據不同的細分方法分享三種不同的分析計算方法分别來推導求證。

方法一，将球體按類似于切西瓜的方法進行切分，形象地稱之為切西瓜細分法。

怎樣用微積分求球體的表面積（用三種微積分的方式推導球體體積公式）2

圖片來自網絡

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【說明】此方法的計算思路可以形象描述為：先計算西瓜塊的體積，再算出一瓣西瓜的體積，最後算出整個西瓜的體積。如圖所示：

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我們也可以采用另一種積分思路，先計算出西瓜塊的體積，再算出由西瓜塊沿中心繞一周形成的西瓜環的體積，最後再算出整個西瓜的體積。

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積分過程表達式如下：

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方法二：我們将球體沿軸向切分成無數個球殼，這種方法我們簡稱為球殼法。

如圖所示，我們在球體内取一半徑為r，厚度為dr 的球殼。

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方法三：我們将球體切分成片，我們簡稱為切片法。

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同樣的細分方法還可以采用如下計算方式。

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同樣采用微積分的分析計算方式，可以選擇不同的細分方式進行計算推導。也可以采用解析幾何方式來分析計算。機械設計人當然要發揮自己空間想象力的優勢選擇幾何細分的方式，可以簡化複雜的計算過程。

聲明：本文為《機械工程文萃》原創文章，如有雷同之處，不是巧合，是因為錯誤的方式有很多，正确的方法就那麼幾個，而且都是規定套路。

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