第一次與你邂逅應該在初一,那時的你是這副模樣:x²=4——單純而美好,一瞬間我走進了你的視線,帶着"平方根"的甜言蜜語,輕而易舉就俘獲了你的"心"(根)——x=±2,,到了初三我才知道原來你有一個那麼率真的名字——"直接開平方",再次相遇,是否還如初見般美好?
一、直接開平方法——平方根
适用于已形成完全平方式的情況
【理論基礎】平方根的性質
正數有兩個平方根,它們互為相反數
0的平方根是0
負數沒有平方根
我們再來看一般情況:
注:上述解法,正好與平方根的性質相對應,如通過觀察我們發現“當p≥0時,方程有實根”與“非負數才有平方根”也是相對應的,請同學們認真體會。至于當p=0時,為什麼不說方程有一個實根,而說成有兩個相等實根,初學時可能會有疑問,我們會在學完所有解法之後再做解釋。
參照上面的結論,我們再來求下面的方程:
【練習】
(1)9x²-5=3
(2)3(x-1)²-6=0
(3)x²-4x 4=5
(4)9x² 4=0
<參考答案>
(1)±2√2/3
(2)1±√2
(3)2±√5
(4)無實根
【理解】
1、在利用直接開平方法時,要注意左邊一定要先化為一個完全平方的形式,也就是通過變形,得到x²=p或(x n)²=p的形式,注意要把x²和(x n)²前面的系數化為1之後再開平方;
2、在學習一元二次方程時,我們會經常碰到方程無實根的情況,如【練習】中的(4)這是在學習一元一次方程時不太常見的,需要同學們多留心;
3、對于ax² c=0或a(x n)² c=0,我們會發現當a、c異号時,方程才有實數根
二、配方法——"一切為了開方"
對于一元二次方程x² 6x 3=0,我們能否化成x²=p或(x+m)²=p的形式?
觀察發現:對于x² 6x 3=0,左邊有二次項、一次項,我們隻需要想辦法利用等式性質,在兩邊加上一個數,使得左邊能配成一個完全平方式即可
移項得,x² 6x=-3
方程兩邊都加上一次項系數一半的平方即9得,x² 6x 9=-3 9
于是,得到:(x 3)²=6
這樣就轉化成了可以直接開方的形式
而對于一元二次方程2x²-4x-3=0,由于其二次項系數不為1,所以需要處理,即多一個步驟——"系數化為1"
移項得,2x²-4x=3
系數化為1得:x²-2x=3/2
【配方法求解的一般步驟】:
①移項,使方程左邊隻含有二次項和一次項,右邊為常數項
②将二次項系數化為1;
③方程兩邊都加上一次項系數一半的平方;
④原方程變為(x+m)²=p的形式;
⑤直接開平方,得到兩個一元一次方程
⑥求解
【練習】
(1)x²-8x 1=0
(2)2x² 1=3x
(3)3x²-6x 4=0
<參考答案>
(1)4±√15
(2)1或1/2
(3)無實根
【理解】
1、利用配方法的前提是将二次項系數化為1(這是準備工作);
2、利用配方法的關鍵步驟自然是配方,其方法是:方程兩邊同加一次項系數一半的平方(這是關鍵點);
3、通過開平方實現降次的目的,進而把一元二次方程轉化為一元一次方程來求解
【課後練習】
請同學嘗試利用配方法解關于x的方程ax² bx c=0(a≠0)
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