在數軸上負整數填補了正整數留下的空白，有理數填補了整數的空白，無理數填補了無理數的空白，這樣實軸上充滿了無數的數，那麼一定有數來填滿實數的空白，這種數就是複數。關于複數的由來有幾百年的曆史，最早是在求一元二次方程ax2 bx c=0的根，如果判别式Δ=b2-4ac＜0時2在實數範圍内則無解，比如x2 1的解按公式求得

這在實數範圍内是不可理解的，後來數學家們引進一個“想象”的數字i,它來自英語中的imaginary的首字母，把

，

就解決了判别式小于零時，一元二次方程無實數解的問題。我們把i 稱為單位虛數。那麼=7i.

虛數 i 滿足如下基本式子：

虛數 i 的定義

由此可見i的幂變換是每四個幂值為一個循環。

複數是一個實數與一個虛數的和，其标準寫法為a bi, 其中a是實部，b是虛部。整個複數集構成一個平面叫複平面，它在直角坐标平面是個點，x軸稱為實軸，y軸為虛軸，如圖複數-2 3i。

複數的一點

複數是可以進行加減乘除，乘方及開方的運算，本文不讨論複數的開方。

1. 複數的加減法運算，即兩個複數的實數部分和虛數部分各自相加減

複數相加減

2. 複數的乘法運算，其與普通的代數運算完全相同：

複數的乘法運算

3. 複數的除法運算，分母中的a和b 都不等于0，我們把a-bi叫做a bi的共轭複數，為了消除分母中的虛數，要分子分母同時乘以分母的共轭複數，如下面的運算，

複數的除法運算

4. 複平面上的一個點可以看成是起點為原點的一個向量終點，這樣就可以在複平面上進行向量的運算。

複平面上向量的加減

1. 複數的模

如果z = x iy, 定義

模的公式

為複數z的模。圖中的θ角叫幅角，它的大小為記做argz =θ 2kπ, k屬于整數，若-π＜θ≦π，則稱為主幅角，記為Argz, 同時

複數的極坐标表達

，那麼複數又可以表示成：

z = r cosθ ir sinθ= r(cosθ i sinθ)，這是複數的極坐标形式或幅-幅角形式。

複數的模和幅角

z = x iy的共轭形式記作

共轭複數

記z的倒數為,

很容易證明以下的模的等式：

複數的特性

6. 利用複數的模形式，可推出複數之積的模角等于兩個複數的模角之和。

其餘的可以自行推導：

7. 棣美弗（De Moivre）定理：如果n是整數，又如下等式，它是上述式子的推廣。

最後談一下非常簡單的複數 f(x) = x2 c點集形成的複雜圖形，這是一個叠代的運算，如果初始x0=0, 讓：

這種叠代一直進行下去，在複數c取某些定數的情況下，會形成曼德博點集，是一種在複平面上組成分形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。利用計算機叠代并着色形成下列圖形。

曼德博分形圖

局部放大

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