今天老黃要介紹高次方程有重實根的規律，以及利用這個規律，介紹一種有重實根的五次方程的解法。

首先，試證明多項式對應的高次方程有r重實根a時，多項式的導函數對應的方程必有r-1重實根a。

依題意，我們可以假設多項式的形式為P(x)=h(x)(x-a)^r，由于原方程隻有r重實根a，所以h(a)肯定不等于0。

然後我們對原多項式求導，P’(x)=(x-a)^(r-1)[h’(x)(x-a) rh(x)]. 這是積的求導公式的運用，并且提取了公因式(x-a)^(r-1)。

又當x=a時，[h’(x)(x-a) rh(x)]|=rh(a)≠0，所以a必是P’(x)=0 的 r-1重實根.

其實就算rh(a)=0，也不會影響“a是P'(x)=0的重實根"的結論，不過就不能确定a是P'(x)=0 的 r-1重實根。

事實上，這是可以用羅爾中值定理來理解的。假如原多項式有兩個重根a，把兩個a之間看作一個區間[a,a]，雖然這個區間内部除了a，沒有其它點，但是原多項式表示的函數在這個區間上仍可以理解為符合羅爾中值定理，因此必存在一點使它的導函數值等于0. 又因為在[a,a]上隻有a自己，因此這個點就隻能是a了，從而從原多項式函數的重根a，變成了多項式函數的導函數隻有a一個根。

那麼這個結論怎麼就跟五次方程的求解産生聯系了呢？當然，有重實根的五次方程可解，已經被證明且解決了，不過這并不妨礙老黃繼續探究。

假設五次方程有且隻有兩個非零重實根x0，（如果x0=0，實際上就不是五次方程了)，那麼五次方程就可能寫成下面的形式：

(x-x0)^2(x^3 bx^2 cx d)=0.

記f(x)=(x-x0)^2(x^3 bx^2 cx d)=0，則

f’(x)=(x-x0)((3x^2 2bx c)(x-x0) 2(x^3 bx^2 cx d))

=(x-x0)(5x^3 (4b-3x0)x^2 (3c-2bx0)x-cx0 2d).

解四次方程：(x-x0)(5x^3 (4b-3x0)x^2 (3c-2bx0)x-cx0 2d)=0,

就可以從四次方程的四個根中得到五次方程的重實根x=x0了。

最後隻要解三次方程x^3 bx^2 cx d=0就可以得到五次方程的所有根了。

其實有三個，四個，甚至是五個重實根，都可以這樣解，而且重實根的個數越多，解起來越方便。

有人可能會說，老黃你真啰嗦，知道有重實根，直接最後一步不就可以了嗎？拜托！我們這裡講的是知道有重實根，但不知道重實根的具體大小的情況。

那麼我們可不可以用待定系數法來求這個重實根呢？如果你覺得那樣會更簡便的話，大可以自己動筆試試看。另外，如果五次方程有重複的虛根，可以這樣求嗎？事實上類似的是可以的。隻不過過程會有所不同。有興趣也可以動手試一試。

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