梯度是一維微積分導數下的一種高維形式。在開始之前，讓我們花一點時間回顧一下一維函數的導數，以便我們進行類比。當我們讨論導數時，我們讨論的是變化率，或者說函數切線的斜率。對于點x，函數在這一點上的導數告訴我們它在這一點上增加或減少的速度有多快。

我們通常把這個變化率描繪成在該點處切線的斜率，所以我們可以把導數看作是一個函數，這個函數會給出在該點的斜率

當您将書架固定到牆上之前，在書架上設置一個水平儀，這樣就可以測量書架與水平方向的偏差，也就是它在垂直方向上的變化率，現在想象一下在上面的圖上畫一條水平線，并在這個點上畫了一條切線，裡面的小氣泡會向右上升，表示斜率為正，或導數為正。

對于單變量函數而言，導數是非常重要的數學工具，如果有一種更好的方法可以将它們推廣到含兩個或更多變量的實函數中，那就太好了。為了更加簡單直觀，我們在這裡隻讨論二元實函數，它可以描繪成平面上的曲面(就像一維微積分的圖形可以描繪成一條曲線)。

将單變量函數的圖想象為山的山脊，你正在沿山脊徒步攀登。

當你到達水平軸上的某個點時，你可以把水平面放在與山脊相切的地方，我們會很容易地理解這一點，因為你隻能沿着山脊的一個方向走。

與二維的情況相比，現在你不是沿着山脊行走，而是穿過一個丘陵山谷。

如果你站在一個特定的點上，我問你斜率是多少？你很可能會放下你的水平儀來測量，這看起來就像在一維情況下，我們可以用水平儀把點轉換成斜率。然而，測量表面上的斜率并不是一個單一的方向，而是無限多個方向!不管你站在那個點的時候朝哪個方向轉彎，你都可以放下你的水平儀并進行讀數，從而給出那個點的斜率值。要知道這些斜坡不一定是相同，我們假設在山上有一個徒步路徑網絡，這些路徑在某些點上縱橫交錯

如果你正站在圖中的十字路口，根據你所處的位置，你會得到完全不同的坡度讀數(例如，前後的坡度比左右的坡度增加得快得多)。

記住，我們的最終目标是對二維函數求導，所以我們需要一些方法來給不同的點指定斜率。上面的例子清楚地表明，這并不像一維情況那麼簡單，因為曲面可以從一個點向不同方向傾斜，且每個方向傾斜的角度不同。所以如果給定一個點并指定一個方向，就很容易确定該方向上的導數

因為你可以從一個點開始向許多方向移動，我們要把所有的各個方向上的斜率收集在一起(用數學術語來說，方向導數)，并用一個數學對象連接到每個點，存儲每個方向的斜率。這似乎是對高維函數的單變量導數的一個很好的推廣，因為一維版本也存儲了各個方向的斜率:隻是碰巧它隻有一個方向!

給定一個二維函數f，我們将把它的導數(或所有方向導數的集合)表示為f的梯度

這個導數“存儲”了所有的方向導數，意思是，給定了梯度和方向，我們就可以立即得到函數在那個方向上的斜率。用數學術語表示;

這讓我們對梯度本身可能是什麼類型有了一些了解(注意，直到現在我們真的不知道;從我們給出的定義來看，它很可能是一個包含各種可能的方向導數的巨大列表!)既然給定了一個向量和梯度，我們想要得到斜率(标量)，那麼梯度必須是某個對象，當它與一個向量結合時，就可以得到一個标量。如果梯度也是一個向量，我們就得到了我們所需要的，因為兩個向量的點積是一個标量!這給了我們一個新的更精确的梯度定義

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