例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】觀察動圖：

點Q軌迹是個圓，而我們還需确定的是此圓與圓O有什麼關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌迹圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結】确定Q點軌迹圓即确定其圓心與半徑，

由A、Q、P共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．

Q點軌迹相當于是P點軌迹成比例縮放．

例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】動圖先看結果：

Q點軌迹是個圓，可理解為将AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌迹與P點軌迹都是圓．接下來确定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；

根據動點之間的數量關系分析軌迹圓半徑數量關系．

例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌迹是？

【分析】動圖先看結果

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AO:AM=2:1．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．

【結論】

按以上兩點即可确定從動點軌迹圓，Q與P的關系相當于旋轉 伸縮．

古人雲：種瓜得瓜，種豆得豆．

“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

思考1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌迹是個圓：

考慮∠PAQ=60°，可得Q點軌迹圓圓心M滿足∠MAO=60°；

考慮AP=AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系．

思考2

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．

考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌迹？

【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q點軌迹是個圓．

連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M點即為Q點軌迹圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定點Q的軌迹圓．

真題戰場：

如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．

【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．考慮C是BM中點，可知C點軌迹：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌迹．

當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐标求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可．

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．

【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可确定M點軌迹：

取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分别交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌迹．

當然，若能理解M點與P點軌迹關系，可直接得到M點的軌迹長為P點軌迹長一半，即可解決問題．

如圖，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC邊的中點，點E是正方形内一動點，OE=2，連接DE，将線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．

【分析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌迹是以O為圓心，2為半徑的圓．

考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌迹是以點M為圓心，2為半徑的圓．

直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．

△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．

【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，将AC看成動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．

根據AC=2，可得C點軌迹是以點A為圓心，2為半徑的圓．

接下來題目求AO的最大值，所以确定O點軌迹即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌迹是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌迹也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌迹圓圓心．

連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據AB先求AM，再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．

此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A’共線時，可得AO最大值．

或者直接利用托勒密定理可得最大值．

（未完待續）

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