從小學到高中，我們學過12年的數學，叫做初等數學；大學後的微積分，叫做高等數學。到底什麼是初等數學和高等數學呢？它們之間有什麼聯系？面對數學難題，有什麼思路可以讓我們“一步到位”？中國科學院林群院士、張景中院士為你揭開數學的奧秘！

從小學到高中，我們學過12年的數學，叫做初等數學；大學後的微積分，叫做高等數學。

初等數學大緻是什麼内容呢？著名數學家華羅庚在1979年留下一個視頻，他對此做過解答。

他說，數學就是數和形。最先出現的是數字，就是12345；後來有了減法，就出現了負數；再後來有了除法，就出現了分數。這許多“數”，有一個總名字：有理數。

有理數有一個特殊性質：有理數加有理數還是有理數，有理數減有理數還是有理數，有理數乘有理數還是有理數。也就是說，有理數遇到另一個有理數，不論加減乘，結果都是有理數。那麼有理數除有理數呢？隻有一種結果不是有理數，那就是除以0。總之，有理數本身，對加減乘除是自封的。

僅有理數夠不夠呢？不夠！例如根号2就不可能是有理數，這說明有理數是不完整的。所以整個“數”的系統，給它一個定義，叫實數系統。實數系統也有這個性質，即對加減乘除自封。

可是，實數系統就完整了嗎？還不完整。例如在求解方程的過程中，可能沒有實根，但是有虛根，所以實根之外又出現一種數，叫做複數。複數對加減乘除也是自封的。

自此之後，凡是一批數或一批抽象的東西，如果裡面可以定義加減乘除并且是自封的，高等數學就叫它域。

最後講面積，包括長方形、三角形、多角形、圓的面積。

上述是華羅庚關于初等數學的總結。華羅庚是我國最博學的數學家，他總觀全局，把初等數學講得這麼少（精煉），使我們學習數學更有信心。

但是華羅庚沒有具體講高等數學（微積分）。

微積分講什麼呢？是否還是應該講面積？如果我們還是把一般圖形（如曲邊梯形）分成許多長方形，不僅計算量大，而且分得再多也有疏漏，這是不得已的方案。

“牛頓”們不是這麼做的。他們開始不是求面積，他們求瞬時速度，隻看一個時刻。但在某一時刻，時間與路程都等于0：

怎麼算？我們給出一個算法：

公式1

即平均速度與瞬時速度之差與時間成正比地減少。于是，在短時間内，速度就變化不大，平均速度就代替了瞬時速度。

尤其是，當時間接近0，則平均速度接近瞬時速度，用看不用想。

注意，我們關心的正是時間接近0時出現的極限，如今借助公式（1）求極限，避開了無窮小！

于是，公式（1）可改寫為

|路程-瞬時速度×時間|≤(時間段)²的一個倍數

其中，瞬時速度×時間，可看作瞬時速度中的面積（相當于化曲為長方）。那麼，路程為面積的近似值（時間的平方），那麼很容易證明兩者相同：路程=速度圖的面積。

微積分把它寫成：

二維面積變成了一維高，俗稱：油餅面積變油條高。

通俗地講，就像計算一塊彎彎曲曲的油餅面積，既無需将油餅切成“無窮個”小油條，也無需将這“無窮個”小油條的面積再相加，一下子就能得到油餅的面積等于另一根油條的高，簡稱為：油餅面積=油條高。

原先，億萬次計算也算不準，如今，一次計算便準确到達。

作者：林群（中國科學院院士）、張景中（中國科學院院士）

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