幾何題多變的問法，一直是中考題中難住我們的題目，當"幾何"遇上"最值"，會碰撞出怎樣的火花呢？關于幾何最值問題研究的老師很多，本人以前也有文章論述，本文在此基礎上再次進行歸納總結，把各種知識、方法、思想、策略進行融合提煉、追本溯源、認祖歸宗，以使解決此類問題時更加簡單明晰。

基本圖形

所有問題的老祖宗隻有兩個：

1 [定點到定點]：兩點之間，線段最短；

點P為直線L上一動點，問P運動到何處，線段AP BP和最小。

可以理解兩點之間線段最短。連接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點。三角形三邊關系可以得出，始終圍成三角形，AP BP>AB，當A,P,B三點共線時，AP BP=AB取最小值。

②[定點到定線]：點線之間，垂線段最短。

我們都知道定理：垂線段最短（直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短）

A為直線l外點，P為直線l上一動點，那麼A到直線l的距離最小值即為A做l的垂線，最小值為垂線段的長度.

由此派生：

③[定點到定點]：三角形兩邊之和大于第三邊；

④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；

⑤[定點到定圓]：點圓之間，點心線截距最短（長）；

⑥[定線到定圓]：線圓之間，心垂線截距最短；

⑦[定圓到定圓]：圓圓之間，連心線截距最短（長）。

解決幾何最值問題的主要方法是轉化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變換、圖形性質等手段把所求量進行轉化，構造出符合幾何最值問題理論依據的基本結構進而解決問題。

幾何最值問題基本結構分析:①利用軸對稱進行轉化（簡稱軸對稱幾何最值）;②利用圖形性質進行轉化

如圖，點A、B是直線l同側的兩個定點，動點P在直線l上，當點P運動到什麼位置時，PA PB的值最小

做法：（轉化）把定點對稱到定直線異側,連接對稱點和另一個點，和定直線的交點即為所求點P（如圖）

軸對稱最值問題的特征：有動點、定點、定直線， 動點在定直線上運動(定直線是對稱軸).

考試中出現的問題都是在基本圖形的基礎上進行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點的形式确定的；再如過定點的直線與動點所在路徑不相交而需要進行變換的。

類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形;（2）動點路徑待确定；（3）動線（定點）位置需變換.舉例說明如下：

1．（2019•益陽中考題）如圖，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上随之上下移動．

（1）當∠OAD＝30°時，求點C的坐标；

（2）設AD的中點為M，連接OM、MC，當四邊形OMCD的面積為21/2時，求OA的長；

（3）當點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值．

2．（2019•許昌二模）如圖1，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點．

（1）觀察猜想

将圖1中的△BCD繞點O逆時針旋轉至圖2中△ECF的位置，連接AC，DE，則線段AC與DE的數量關系是 ，直線AC與DE的位置關系是______ ．

（2）類比探究

将圖2中的△ECF繞點O逆時針旋轉至圖3的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由．

（3）拓展延伸

将圖2中的△ECF在平面内旋轉，設直線AC與DE的交點為M，若AB＝4，請直接寫出BM的最大值與最小值．

【解析】（1）連接OA，OC，可證△AOC≌△DOE（SAS），AC＝DE，AC⊥DE；

（2）（1）中的結論：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立．方法和（1）相同，易證△AOC≌△DOE（SAS）；

（3）在旋轉過程中，取AD中點N，連接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共線時構成三角形，由三角形邊的關系"三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊"可知：BN﹣MN＜BM＜BN MN，當B，N，M共線時，

得到BM＝BN MN和BM＝BN﹣MN分别為BN的最大值、最小值．

BM的最大值為2√5﹣2，最小值為2√5 2．

3．（2019•碑林區校級模拟）（1）如圖1，等邊△ABC的邊長為2，點D為BC邊上一點，連接AD，則AD長的最小值是_______ ；

（2）如圖2，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8√3，E為AB中點，若P為對角線BD上一動點，Q為AD邊上一動點，計算EP PQ的最小值：

（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4√2，E為CD邊上一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE，垂足為點F，在AF上截取FP＝FD．試問在四邊形ABCD内是否存在點P，使得△PBC的面積最小？若存在，請你在圖中畫出點P的位罝，并求出△PBC的最小面積；若不存在，請說明理由．

【解析】（1）如圖1中，根據垂線段最短可知，當AD⊥BC時，線段AD的值最小，△ABC的高AD＝√3，所以AD的最小值為√3．

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，連接PQ′，AC，EC．首先證明△ABC是等邊三角形，證明△PDQ≌△PDQ′（SAS），可得PQ＝PQ′，推出PE PQ＝PE PQ′，再根據垂線段最短即可解決問題．PE PQ的值最小，最小值為√3．

（3）存在，理由如下：如圖3中，以AD為斜邊在直線AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，連接AC，PD．

∵BA＝BC＝4√2，∠ABC＝90°，∴AC＝√2AB＝8，∠BAC＝45°，

∵∠BAD＝75°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝AC•cos30°＝4√3，

∵△ADO是等腰直角三角形，∴OA＝OD＝2√6，

∵∠ABM＝∠NMB＝∠ANM＝90°，∴四邊形ABMN是矩形，

∴AB＝MN＝4√2，∠BAN＝90°，∴∠OAN＝75° 45°﹣90°＝30°，

∴ON＝1/2OA＝√6，∴OM＝√6 4√2，

∵DF⊥AE，FP＝FD，∴∠FPD＝45°，∴∠APD＝135°，∴點P的運動軌迹是弧AD，當點P在線段OM上時，PM的值最小，此時△PBC的面積最小，

此時PM＝OM﹣OP＝√6 4√2﹣2√6＝4√2﹣√6，

∴△PBC的面積的最小值＝1/2•BC•PM＝1/2•4√2•（4√2﹣√6）＝16﹣4√3．

4．（2019•長安區一模）問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E、F分别為邊AD、BC上的點，且AE＝1；BF＝2．

（1）如圖①，P為邊AB上一動點，連接EP、PF，則EP PF的最小值為 ______；

（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動點，且PM＝2，現要求計算出EP、PM、MF和的最小值．九年級一班某興趣小組通過讨論得出一個解決方法：在DA的延長線上取一點E'，使AE'＝AE，再過點E'作AB的平行線E'C，在E'C上E"的下方取點M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點即為M，再在邊AB上點M的上方取P點，且PM＝2，此時EP PM MF的值最小．但他們不确定此方法是否可行，便去請教數學田老師，田老師高興地說："你們的做法是有道理的"．現在請你根據叙述作出草圖并計算出EP PM MF的最小值；

問題解決：

（3）聰聰的爸爸是供電公司的線路設計師，公司準備架設一條經過農田區的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．如圖所示，農田區兩側AB與CD平行，且農田區寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據架線要求，在農田區内的線路要與AB垂直．請你幫助聰聰的爸爸設計出最短的線路圖，并計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結果保留根号）

【解析】（1）利用軸對稱方法求最短路線，作點E關于直線AB的對稱點E′或作點F關于直線AB的對稱點F′，連接EF′交AB于P，則PE PF＝EF′即為最小值，由勾股定理得：EF′＝3√5，故答案為3√5；

（2）這個問題是問題一的推廣，通過對稱求最短路線，M′M MF＝M′F＝5為最小值，即PE PM PF＝5 2＝7為最小值．；

（3）将實際問題轉化為數學問題，作ME⊥AB，并在ME上截取MM′＝0.5（農田的寬度），連接M′N交CD于G，作GH⊥AB于H，連接MH，GN，則MG GH GN即為最短路線．最短線路長度為MH GN GH＝M′G GN GH＝M′N GH＝√85/2 1/2（km）．

5．（2019春•灞橋區校級期末）問題探究

将幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現．題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之間的關系清楚明了，從而将求解問題靈活轉化．

問題提出：如圖1，△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為△ABC内部一點，連接PA、PB、PC，求PA PB PC的最小值．

方法分析：通過轉化，把由三角形内一點發出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）．

問題解決：如圖2，将△BPA繞點B逆時針旋轉60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A′C與AB交于點D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA ∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP為正三角形，有PB＝P'P．

故PA PB PC=P＇A P＇P PC≥A＇C=√3．因此，當A'、P'、P、C共線時，PA PB PC有最小值是√3．

學以緻用：（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P為△ABC内部一點，連接PA、PB、PC，則的最小值是_______ ．

（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB=2√2，CA=3，P為△ABC内部一點，連接PA、PB、PC，求√2PA PB PC的最小值．

（3）如圖5，P是邊長為2的正方形ABCD内一點，Q為邊BC上一點，連接PA、PD、PQ，求PA PD PQ的最小值．

【解析】（1）将△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△AFE，易知△AFP是等邊三角形，∠EAB＝90°，轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直），PA PB PC的最小值為5．

（2）将△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延長線于H．轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直），PA PB PC的最小值為√29．

（3）如圖5中，将△APD繞點A逆時針旋轉60°得到△AFE，則易知△AFP是等邊三角形，轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"垂線段最短"求最小值，PA PD PQ的最小值為√3 2．

方法總結：幾何最值考查的主要是公理化思想，将問題轉化為可以用初中的"二小"公理解決是核心。一小：兩點之間線段最短，二小：點到直線的距離最短，即垂線段最短.

用到的方法主要是作"軸對稱"，記憶口訣："差同和異"，求兩條線段差的最大值，點必須在直線同側為"差同"，求兩條線段和的最小值，點必須在直線異側為"和異"。

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