• 哥德巴赫給歐拉的信（1742）

這是18世紀俄羅斯的一個夏夜。克裡斯蒂安-哥德巴赫（ Christian Goldbach）正在給萊昂納德-歐拉寫一封信，提出一個數學猜想。兩個多世紀後，沒有任何數學家能夠證明或反駁這個猜想，它仍然沒有得到解決。

哥德巴赫提出的猜想是：

每一個可以寫成兩個素數之和的整數，也可以寫成任意多的素數之和，直到所有項都是單位1。

在這個猜想中，他把1當作了素數。然後他在信的空白處提出了第二個猜想：

每個大于2的整數都可以寫成三個素數之和。

歐拉是有史以來最偉大的數學家之一。數學中最漂亮和第二漂亮的方程都來自歐拉（Leonard Euler）。你可以在這裡讀到它們：

很多人真正愛上數學，是從歐拉公式開始的，它到底有怎樣的魔力？

世界上第二美麗的等式，多面體歐拉定理，打開了一個新的幾何領域

歐拉研究了哥德巴赫的猜想，并于同年6月30日給他回信。哥德巴赫說，這兩個猜想中的第一個可以從下面的陳述中得出：

每個正的偶數都可以寫成兩個素數之和

哥德巴赫猜想的現代版本是：

每個大于2的偶數都可以寫成兩個素數之和。

這就是哥德巴赫猜想，簡單易懂，易于檢驗。即使是大數，一個簡單的計算機代碼也能檢驗出來。就像科拉茨猜想一樣，已經對大量的數字進行了檢驗，但沒有找到反例。

從一個“簡單”的數學難題中窺視數學的本質，數學沒有盡頭

即使是一個小數字，如2566，也有37對這樣的質數。它們是：

17 2549, 23 2543, 89 2477, 107 2459, 149 2417, 167 2399, 173 2393, 227 2339, 233 2333, 257 2309, 269 2297, 293 2273, 353 2213, 359 2207, 467 2099, 479 2087, 503 2063, 563 2003, 569 1997, 587 1979, 593 1973, 617 1949, 653 1913, 659 1907, 677 1889, 719 1847, 743 1823, 857 1709, 929 1637, 947 1619, 953 1613, 983 1583, 1013 1553, 1193 1373, 1259 1307, 1277 1289, 1283 1283

我們可以從哥德巴赫分區中直觀地看到所有偶數是由兩個素數組成的。如下圖所示，從2到47的質數可以組成最大94的偶數。

• 從4到96的偶數的哥德巴赫分區。

為了更好地理解這個猜想，我們來談談素數。素數定理表明，如果随機選擇一個整數m，它是素數的幾率是1/ln(m)。

因此，如果n是一個大的偶數，m是3和n/2之間的數字，那麼m和（n-m）同時是素數的概率将是：

通過啟發式方法，将一個大的偶數n寫成兩個奇數素數之和的方法總數大約為

由于ln(m)<<√n，這個數随着n的增加而變成無窮大。為了讓你們能自己檢驗一個數字是否滿足這個猜想，我在下面添加了一個Python代碼。讀者可以在任何在線編譯器上運行這段代碼，甚至在你的手機上（無需安裝任何東西）。

對哥德巴赫猜想也有不同的圖表。将一個偶數n寫成兩個素數之和（4≤n≤1,000）的方法有很多，可以做一個漂亮的圖。

• 将偶數n寫成兩個素數之和的方法（4≤n≤1,000）。

• 将一個偶數n寫成兩個素數之和的方法（4≤n≤1,000,000）。

可以看到，随着n的增加，将n寫成兩個素數之和的方法也在增加。

今天，"每個大于2的偶數都可以寫成兩個素數之和 "的說法是哥德巴赫猜想的通常表達方式。這種形式也被稱為 "強"、"偶 "或 "二進制 "哥德巴赫猜想。還有一個 "弱 "哥德巴赫猜想，即 "每個大于7的奇數都可以寫成三個奇數之和"。它也被稱為 "哥德巴赫弱猜想"，"奇數哥德巴赫猜想"，或 "三元哥德巴赫猜想"。

奇數哥德巴赫猜想的證明是由哈拉爾德-赫夫戈特在2013年給出的。

即使過了這麼多世紀，可能也沒有人知道我們如何證明或反駁這個猜想。雖然我們已經檢驗了非常多的數字，但仍然可能有一些數字不遵循這個猜想，隻要有一個，這個猜想就不成立了。

匈牙利數學家喬治-波利亞在1919年提出了一個反例：1.854×10^361，但在1958年被C.Brian Haselgrove證明是錯誤的。

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