在數學的幾何學習中，我們應該都明白一個公理。

同一平面内，過已知直線外一點且隻有一條直線與已知直線平行。

則任意兩點都是平行的，任意一點與任意平面都是平行的。

這是希爾伯特在《幾何基礎》中，關于歐幾裡得幾何中的平行公理的進一步闡述。

而在歐幾裡得幾何中，關于平行公設則有着更多思考和疑問，至少在100多年前，人們仍然非常遵循這套幾何邏輯。

平行公設關于第五公設的思考

但是在19世紀初，俄羅斯數學家洛巴切夫斯基卻提出了一個大膽的理論：

平行線，或者說在歐幾裡得的第五公設中，這種平行直線太過于苛刻。

作為數學的替代方案，他認為在通過不在給定直線上的點的平面上，有不止一條直線與給定直線在同一平面上且不相交。

另外在他進一步的論述中，平行線是可以相交的。

洛巴切夫斯基，俄國數學奇才

當時不少數學界的數學家被洛巴切夫斯基的這一理論給驚呆了。

這小子年紀輕輕到底懂不懂數學？怕不是連最基本的幾何定理都沒搞清楚就來大放厥詞了？

相信屏幕面前不少讀者在未接觸非歐幾何前，一定也是和這些數學家有着同樣的疑問和諷刺。

先别急着這麼快否定，一起來看看俄羅斯的數學奇才究竟是怎麼想的。

三種幾何環境下的直線狀态

洛巴切夫斯基的童年記錄幾乎沒有，隻有關于他父親的潦草介紹。

但在他生命最初的那些年裡，洛巴切夫斯基被父母送進體育大學學習，并在1806年從體育館畢業。

從體育館畢業的他繼續深造學習，此時的他幾乎沒怎麼學過數學，或者說可以學習與數學相關的課程很少。

但是到了1808年，情況就發生了變化。

馬丁·巴特爾斯，一位優秀的德國數學家，他受當時喀山教育區的邀請來到俄國教書。

同時，他也是數學天才高斯的好友。

沒錯，就是那個一人搞定多個數學難題，并且整出讓無數人痛苦的“高斯代數”那哥們兒。

本來一向對數學不太感興趣的洛巴切夫斯基很快被馬丁的教學方式吸引。

當時他的興趣主要在化學和藥理學，在巴特爾斯的影響下開始對物理和數學感興趣。

俗話說興趣是最好的老師，更何況還有馬丁這樣優秀的教師。

1811年，洛巴切夫斯基以碩士學位畢業，并在物理和數學方面取得優異的成績。

或許是有天賦加持，短短數年的蛻變讓他成為極具潛力的數學選手。

從學校畢業後的洛巴切夫斯基開始專注于數學研究，但是德國教師隊伍由于受到喀山地區教育委員會的排擠，最終不得不退出俄羅斯。

因此喀山區的高等教育很快面臨着人才不足的問題， 1820年，洛巴切夫斯基經過推選成為學校的物理數學院院長。

羅巴切夫斯基對自己的幾何進行了研究

此後幾十年的時間裡，洛巴切夫斯基潛心教學，并且在數學方面取得了不俗的成就。

尤其是他關于非歐幾何和洛巴切夫斯基幾何的設想，以及相關推理，影響了後來數學的發展。

不過這在當時沒有受到人們的重視，反而還遭受各種嘲笑。

從1817年開始，洛巴切夫斯基就在思考歐幾裡得的第五公設。

後來幾年裡，洛巴切夫斯基在自己的筆記以及各種手劄中都有詳細的推論和記錄。

不過當時他并不認為這些工作會得到認可，因此相關理論也隻有他自己知道。

歐幾裡得的并行公理

在他看來，歐幾裡得關于幾何的論述實際上是有問題的。

自己關于新幾何中的推論不包括歐幾裡得幾何，但是歐幾裡得幾何可以通過極限情況下得到。

洛巴切夫斯基放棄了歐幾裡得關于平行的假設。

相反在他的構建下，一條直線和一個不在該直線上的點形成的平面中，可以通過該點畫出無限多條平行于原始線條的直線。

将此假設與歐幾裡得前四條共設結合，并展開推理。

通過P點且漸漸趨近R（但不相交）直線

最終得到的結果是，第五公設不能被證明。

所有非平面的假設都是不正确的，至少歐幾裡得幾何隻能在他的平面幾何中自洽。

這便是後來關于雙曲幾何的推論，也是洛巴切夫斯基幾何中的一部分。

雙曲幾何中，至少有兩條不相交的直線，且都通過P點，并不與R相交。

此外，雙曲幾何對其本身而言并無矛盾之處，在雙曲幾何的環境裡，平面的曲率為負數。

通過歐幾裡得幾何仍然可以推導出屬于它本身的定理。

換句話講，平行公設無法由前四條共設推導，平行公設獨立于前四條共設。

羅式幾何中的雙曲抛物面

不可能有平行定理，隻有平行公設，這是洛巴切夫斯基關于歐幾裡得幾何的定論。

當他在1832年将自己的作品《幾何原理》交給科學院時，當時俄國不少數學家都開始諷刺他幾乎什麼都不懂。

說到這裡不要覺得不可思議，一套系統理論在得到完全證明和認可之前很難讓人接受。

因為很大程度上會推翻現有的科學體系，或者影響整個科學發展。

就像愛因斯坦的相對論在剛發表的時候，不少科學家都堅定牛頓的絕對靜止時空是沒問題的。

誰對誰錯還真不好說

盡管遭受了不少嘲笑，但是洛巴切夫斯基對自己充滿信心。

他内心也很清楚，自己的這套理論大概率不會被當時主流的研究所認可。

不過作為一名數學家來講，他還是希望有人能夠理解他的想法。

于是洛巴切夫斯基開始把自己的想法刊登在德國雜志上，并且還寫了一本關于幾何研究的小書，裡面都是關于他對非歐幾何的論述。

德國數學天才高斯

事實上不僅是洛巴切夫斯基，同時期内其實有很多數學家都開始注意到歐幾裡得幾何中的問題。

包括高斯這樣的數學天才同樣如此。

但礙于當時的學術環境，高斯不敢發表自己關于歐幾裡得幾何的看法，隻能私底下秘密研究。

但再怎麼說，當年的老師有恩于自己，因此有兩份副本後來送到了高斯那兒。

高斯在看了之後十分認同洛巴切夫斯基的想法，并且正面肯定了他的工作。

羅巴切夫斯基幾何的進一步表達

考慮到當時的科學界還不能接受這種激進的想法，相比之下，高斯更加同情這位俄國數學家。

不過作為當時歐洲最頂尖的數學家，高斯在學術界有很高的地位和聲望。

為了扶持洛巴切夫斯基，高斯開始自學俄語，并在哥廷根皇家科學學會上推舉他為優秀數學家代表。

然而十分可惜的是，盡管高斯再怎麼努力，當時也沒有人理解。

并且在後來，洛巴切夫斯基的家境一落千丈，兒子生病死亡，自己也陷入失明，并且身體一天不如一天。

隻能通過口述來讓人記錄他的想法，1844年後，也就是在他作品發表後的12年，這位數學奇才郁郁而終。

右邊則是羅巴切夫斯基幾何表達

然而在這之後，人們才逐漸注意到這套理論，很快科學界的情況發生了變化。

洛巴切夫斯基的理論得到了認可。

到了1868時，歐洲數學家建立了投影模型、僞球等數學模型，最終才證實了洛巴切夫斯基幾何。

如今我們在生活中有許多地方都能看見這位數學家所想證明的例子。

例如有雙曲平面設計的鈎編衣物或者氈帽，雙曲幾何的球面投射模型等等。

進一步的幾何推導在黎曼幾何、非歐幾何中得到闡述。

球體的平面投射

或許正如生活一般，大膽的假設總是令人感到畏懼和膽怯，但正是這種突破精神才讓我們繼續前行。

人生的曲線處在生活這個平面裡，看似兩者毫無聯系，但總有一天它們會相交于一點從而改變一切。

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