"纖夫的愛"與函數

甲：函數是一種什麼樣的數？

乙：函數不是數，而是兩個變量之間的一種對應關系。

甲：變量是什麼意思？

乙：變量是指在某個變化過程中可以取不同數值的量。比如，我們人的年齡不僅年年在變，而且每時每刻都在變，所以人的年齡就是變量；汽車在行駛過程中，它的行駛路程時時都在變，行駛時間也時時在變……

甲：原來這就是變量啊，那有沒有不變的量呢？

乙：真正不變的量是沒有，但相對于變量來說，如果把變化不是很大的量看作是不變的量，那就有不變的量了。比如，汽車在行駛過程中，速度常常是不變的（或者是變化很小），此時速度就是不變的量，稱為常量。比如在圓的面積S（平方厘米）與半徑R（厘米）的關系是S=лR2中，半徑有大有小，可大可小，所以R就是個變量，而不管R的大小如何，圓周率卻是始終不變的，所以是常量。面積S随着R的變化而變化，所以S也是變量。在這裡，S是因為R的變化而變化，所以R又叫做自變量，S稱為因變量。

甲：自變量和因變量原來是這麼回事。

乙：是呀，你有沒有注意到因變量這個名字起得好？

甲：好在哪？

乙：你聽，因變量，顧名思義，因為自變量的變化而變化的變量就是因變量。

甲：的确有意思。那究竟什麼是函數呢？

乙：象上述圓的面積S與半徑R之間的那種關系的兩個變量中S就叫做R的函數。

甲："那種關系"究竟是指哪種關系呢？

乙：設在某個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某個範圍内的每一個确定的值，y都有唯一确定的值與它對應，那麼y就叫做x的函數，x叫做自變量，y叫做因變量。

甲：我還是不明白，你能不能舉個通俗的例子說明一下。

乙：你知道"纖夫的愛"這首歌嗎？

甲：不就是尹湘傑和于文華合唱的 "妹妹坐船頭，哥哥岸上走，恩恩愛愛纖繩蕩悠悠……"這首歌？

乙：正是。

甲：這和函數有什麼關系呢？

乙：你想想這樣一幅畫面：一個男人拉着一隻坐個女人的小船在岸上行走，男人走的速度、路程、方向、路線是不是可以不斷變化？他是不是好象是函數中的自變量x？

甲：的确有點象，那女人怎麼說？

乙：坐在船上的女人移動的速度、路程、方向、路線是不是隻能随岸上男人行走的變化而變化？她和函數中的因變量y有何兩樣嗎？

甲：的确沒啥兩樣，可函數定義中的"對于x在某個範圍内的每一個确定的值，y都有唯一的值與它對應"作何解？

乙：你說當纖夫的"他"的速度确定下來後，船上的"她"的速度是不是随之唯一确定？

甲：這點沒錯。我想問的是函數定義中為什麼要規定"x在某個範圍内"取值？不能随意取一個值嗎？

乙：不能。自變量的取值有時可以随意取一個值，有時卻不能。好比纖夫在岸上走，他能随意往任何一處走嗎？在碰到險灘時，他為了"愛"是不是應該選擇某個安全的方向、路線，讓船繞過險灘往安全地帶拉？

甲：那當然了。可函數也會遇到"危險地帶"嗎？

乙：會的。你看在y=6/x中，x如果等于0，就沒有意義，這裡的"0"就是這個函數自變量x的"危險地帶"，此時我們說在這個函數中，自變量x的取值範圍是x≠0。

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