素數（質數）之于整數就像原子之于分子，在這個意義上，每一個大于1的整數都可以寫成質數的唯一乘積形式。

素數

素數是大于1的正整數，不能寫成兩個較小的正整數的乘積，如2，3，5，7，11，…

2300年前，歐幾裡得證明了素數有無窮多個，這是一個具有裡程碑意義的證明。自那時起，人類對素數的研究就從未停止過。縱觀曆史，數學家們一直為表面上看似容易的難題所困擾。正如我們将在本文中看到的，有些質數比其他質數更特殊。

當偉大的數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯十幾歲的時候，他得到了一本包含對數表的書。那個時候，對數表真的很方便，在某種程度上相當于現代的計算機。高斯對這些值非常熟悉且敏感。

在開始本文的主題之前，讓我們先回顧一下什麼是自然對數餓。在18世紀，歐拉定義了數字e≈2.718281828…下面的公式可以讓你得到e的任意精度的值，

e是一個非常重要的數，我們都知道以e為底的指數函數的性質：d/dx f(x) = f(x)。對數函數ln（x）是e^x的反函數。對數最重要的性質是ln(xy) = ln(x) ln(y)，也就是說，我們可以把乘積問題轉化為求和問題，使問題更簡單。

高斯研究了自然對數的值，他還有一本關于數論的書（尤其是關于素數的）。年輕的高斯靈光一閃，發現了他的兩本書之間的聯系。他看到了自然對數和素數之間的聯系。高斯的發現是，

定義質數計數函數π(x)為小于等于x的質數的個數，例如，π(10) = 4，因為有4個小于等于10的質數（2、3、5和7）。高斯注意到，函數x/ln(x)和π(x)似乎随着x的增大以相同的速度增長。

更準确地說，高斯推測π(x) ~ x/ln(x)，這意味着當x趨于∞時，π(x) / (x/ln(x))趨于1。

後來，高斯發現了π(x)的一個更好的近似，即1/ln(t)從2到x的積分。如下圖所示，

1859年，高斯的一個學生，波恩哈德·黎曼，發表了數論中最重要和最有影響力的論文之一。這篇短小的文章，激發了一個全新的主題，給當時的數學家們提供了一個研究素數分布的新工具。這個工具現在被稱為黎曼zeta函數，它用希臘字母ζ表示。

對于Re(s) > 1，我們可以通過以下無窮級數定義黎曼zeta函數：

Re（s）表示複數s的實部。

黎曼的思想是，用複數作為這個函數的參數。zeta函數已經為當時的人所熟知，在黎曼之前，歐拉和切比雪夫對其進行了深入的研究，但都是以實數為參數。歐拉發現了這個函數和質數分布之間的聯系，但他沒有發現，真正的聯系隐藏在另一個維度中（複數）。

事實證明，解開這種聯系的關鍵是複數。黎曼發現，如果有人能證明：對于所有實部為1的複數（Re(s) = 1），zeta（s）≠0，高斯在15歲時所做的關于對數和質數的猜想就能成立。

在研究這些所謂的zeta函數的非平凡零點時，黎曼發現最初的幾個零點位于複平面上的一條直線上，即Re(s) = 1/2這條直線。但對于高斯猜想來說，隻要證明當Re(s) = 1時，zeta（s）≠0就足夠了。

這個結果現在被稱為素數定理。素數定理描述了正整數中素數的漸近分布。它通過精确量化質數出現的速率，形成了質數越大，質數就越不常見這一直觀觀點。1896年，阿達馬和德·拉·瓦萊布桑利用黎曼的思路，各自獨立證明了素數定理

實際上，當臨界帶0<a<Re(s)<b<1向Re(s) = 1/2方向不斷縮小時，素數定理會得到相應的改進。因此，黎曼猜想是關于素數計數函數的一種終極表述。這就是為什麼它如此重要。

孿生素數

孿生素數是指一對差為2的素數，如(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，(29,31)，…孿生素數在數軸上越來越稀疏。維戈·布倫在1915年證明了孿生素數的倒數和是收斂的。相比之下，素數的倒數和是發散的。

孿生素數的猜想是：存在無限多對孿生素數。盡管張益唐、梅納德和陶哲軒等數學大師一直在研究孿生素數猜想，并在取得了一些突破，但這個猜想仍未被證明。

目前而言，我們已經清楚孿生素數的一些基本性質，例如，關于素數的威爾遜定理說，當且僅當4（p-1）！ p 4能被p（p 2）整除時，p和p 2是孿生素數對。

即上述條件是p和p 2為孿生素數對的充要條件。例如，孿生素數對(5,7)，根據上面的條件是35除105，結果是3，顯然成立。

上面的條件可以用模運算的符号寫得更簡潔：4((p-1)!≡-p (mod p(p 2))。

孿生素數還有一個非常有趣的條件。

對于所有的自然數n和m，當且僅當 k ≠ 6nm ± n ±m時，6k±1均為素數（因此是孿生素數）。

相差2的素數叫作孿生素數。相差4的素數叫作表親素數，相差6的質數稱為性感素數。1849年，法國數學家波林那克推測，對于每個自然數k，有無限多個素數p，使得p 2k也是素數。這顯然是孿生素數猜想（k=1）的一個推廣。

另一個被稱為為第一哈代-李特伍德猜想 （first Hardy-Littlewood conjecture）的是由兩位傑出的數學家哈代和李特伍德提出的。這個猜想是，

設τ（x）是素數p≤x的個數，并且p 2也是素數，那麼存在一個常數C（稱為孿生素數常數），使得

這有點像素數定理，隻是對象是孿生素數。這自動引申出了另一個問題，能否把第一哈代-李特伍德猜想推廣到表親素數和性感素數，乃至更一般的情況。

答案是肯定的，但它附帶了一個重要的條件。讓我們先看看結果。

P和P 2k是一對素數，當且僅當P (P 2k)能整除2 k (2 k) !((p−1)! 1) p (2k)!−1)，且gcd(p, (2k)!) = gcd(p 2k, (2k)!) = 1。

這裡gcd(n, m)表示n和m的最大公約數，gcd(n, m) = 1表示n和m是互質的。

結論是，這個條件是必要而不是充分的。當條件滿足時，我們不能确定p和p 2k都是素數。有時滿足這個條件但不是素數的數被稱為僞素數。

我相信孿生素數猜想是能被證明的，但何時能被證明還很難說。也許我們需要另一個黎曼出現。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!