作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

質數（prime number），又稱為素數：

質數是隻有1和自身兩個因子的自然數。大于1的非質數是合數，1既不是合數也不是質數。

質數無法擺成矩形

算術基本定理體現了質數的地位。

定理1（算術基本定理）對于正整數，都可以表示為質數的乘積，

不考慮質數排列順序，這樣的分解是唯一的。

如果把1也算作質數，則質因數分解不唯一。每個正整數就像是一個由質數構成的化合物，都可以被分解成最簡的質數原子，每個正整數的“化學式”都是唯一的。事實上，由算術基本定理，我們可以把正整數寫為如下形式：

于是我們可以隻通過指數列就可以表示任意正整數。質數的概念至少在古希臘時期已經出現，然而兩千年過去了，質數的規律依然沒有完全昭示世人。因為質數的規律近乎于随機行為，沒有人能準确預言下一個質數落在什麼地方。古希臘數學家埃拉托斯特尼的篩法是判定質數最基本的工具：

定理2（埃氏篩法）若不能被之前的所有質數整除，那麼是一個質數.

之所以隻需檢驗之前的質數，是因為反比例函數關于軸對稱.

質數是否是有無窮個？歐幾裡得給出了一個鬼斧神工的證明：假如有有限個質數，那麼考慮數，顯然不能被已知的所有質數整除。此時分兩種情況：

• 若是質數，但（因為比已知的質數都大），這與假設矛盾；

• 若是合數，由算數基本定理，必然存在某質數是的質因數，然而（因為已知的質數都不能整除），矛盾。

于是假設不成立——

定理3質數有無窮個！

質數是整數乘法系統的基石，很多命題隻要質數成立，則對于一般的整數自然成立。

質數如此不規律，相鄰質數間距也是數學家關心的問題。事實上質數間距可以任意大，隻需要注意到下面這個連續的合數列

如果把質數的間距視為一個數列，那麼這個數列中存在子列（所謂子列從集合的角度就是一個無窮元素的子集，但是新數列的排序依然按照原數列下标的從小到大排列，例如奇數列就是自然數列的子列，并且奇數按照由小到大的順序排列），這個子列趨于正無窮。這個現象我們表示為：

孿生質數是指相差為2的質數對。我們把從項以後最小的質數間距列出來，

但是無人知曉這個數列的2是否有盡頭，也有可能随着項數充分大後，質數間距不再小于等于4，6，8，……甚至會趨于無窮。2013年，張益唐給出一個令人安心的答案：這個數列不會超過七千萬，即

而孿生質數猜想則等價于：

質數和等差數列也有着獨特的緣分。

定理4（狄利克雷定理） 形如的等差數列中包含無數個質數，當 .

2004年，格林和陶哲軒還證明了，質數中存在任意長度的等差數列。

質數定理

圖片背景是質數螺旋圖

我們把滿足如下性質的數論函數命名為乘性函數：若，則

由于大于1的正整數都可以質因數分解，于是對于乘性函數而言，

于是求函數值可以轉化為求 的值。

例如歐拉函數表示不超過的正整數中，與互質的個數。歐拉函數就是一個乘性函數：

引理5若，則

證明：設是不超過、與互質的數全體；是不超過、與互質的數全體。因為，有

于是至少有個數與互質，即.

反過來，與互質的數，一定與和互質，用同樣的方式可以構造出，中的數同時與和互質，并且，則可以說明.

容易計算

于是利用歐拉函數的乘性，可得

推論6，

關于歐拉函數有著名定理

定理7，則

隻需令即有

推論8（費馬小定理） ，則

證明很簡單，但需要補充縮剩餘系的内容，故省略。順便一提——

定理9（威爾遜定理） 是質數的充要條件

威爾遜定理也有很多變體

<公式左右滑動可見>

但是并不實用。目前計算機快速判别質數的方法基于費馬小定理的逆命題，然而逆命題不成立存在反例——僞質數，隻不過它出現的概率極低。

就連歐拉也感慨：“世界上有許多人類智慧無法解釋的奧秘，看一眼質數表就會發現，它是如此毫無秩序，毫無規則可言。”不過歐拉還是憑借他非凡的洞察力，發現了如下公式：

定理10

<公式左右滑動可見>

證明：證明隻需要用到等比級數公式：

然後展開括号，

<公式左右滑動可見>

比較原式左右兩邊的項，不重不漏一一對應。（絕對收斂級數的求和順序不影響最後結果）

事實上，利用該式也可以證明素數有無窮個，假設質數有限，則

然而令，

調和級數發散。于是等式左右兩邊同時取極限不相等，矛盾。

利用高等數學的技巧，我們可以得到時的特例：

推論11

質數、自然數、圓周率被奇妙地聯系在一起。

當時的人們并沒有意識到歐拉這個恒等式有何作用。另一方面，高斯和勒讓德猜測了質數漸進公式：

定理12（素數定理）

值得一提的是勒讓德關于素數計數函數的公式：

定理13（勒讓德），

<公式左右滑動可見>

這個公式實際上和歐拉函數公式（推論5）有一定的關聯性。假如上面的公式等号右邊取整号全部去掉，則

其中. 于是得到

這該怎麼理解呢？因為對于而言，之前的數都可以被整除，也就是與都不互素；之後與互素的隻能是新的質數了。當然，這個有趣的推理其實非常不嚴謹，它基于一個難以實現的前提——能整除之前的所有質數。

直到黎曼将歐拉定義的函數解析延拓到複平面（挖掉這個奇點），一切變得明朗起來。黎曼甚至給出更精确的素數定理的猜想，它等價于我們現在所說的黎曼猜想：的非平凡零點全部分布在這條直線上。

而原始的質數定理隻需要證明：上無零點。這個事實最終在1896年由阿達馬和德·拉·瓦萊布桑按照黎曼的思路，各自獨立地利用高深的整函數理論證明。1949年，塞爾伯格和埃爾德什分别獨立地給出素數定理的初等證明。

質數定理的證明

質數的研究或許永遠沒有盡頭。質數就像是一群調皮的孩子，任意對他畫出種種條條框框，都不能盡皆約束；然而他偶爾也有聽話可愛的一面，在你不知道的地方，零零散散站立着，等待數學家去發現。

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