初中有一類列入觀察和研究類的題目，已知前幾項，要求學生給出第n項的數值，或者是給出整個數列通項公式的題，其實質就是高中的數列問題。因為初中并沒有講述數列的概念和解法，因此大部分此類題型，學生是通過觀察、歸納、推理的方法求解的，對于一些簡單題目還是比較容易的，但是對于一些比較複雜的問題，觀察、歸納、推理就有難度，或者耗費很多時間。現把有關數列問題做個歸納和總結，給出了一般解法，同時提出了一個新的用一元二次方程求解數列通項公式的方法，雖然使用中考題作為例子，但是對高中求解數列問題也具有指導意義，為數列通項公式的求解開辟了一個新思路。

表1 簡單數列

表1就是個典型的數列的例子，第一行是使用正整數n标記的序号，第二行是每個序号對應的數據值，研究數列就是找出數據序号n和數據值之間的關系，從而寫出通用表達式或第n個數據的值。

本質上來說，數列就是以正整數n為自變量的函數。函數通常有圖形表示法、表格表示法和公式表示法三種，同樣數列也有上述三種表示法。對于函數可能有函數式，也可能沒有。對于數列也是一樣，有的能夠寫出通項公式，有些是沒有通項公式的。

表1中數列的通項公式是：2n-1（n為序号，n=1,2….，）

驗證如下，當序列号n=1時，數據項是2*1-1=1，與表中數據相符，其它各項讀者也可以一一進行驗證。一旦寫出了數列的通項公式，那麼我們就可以寫出任何一項的數據，比如表1中n=7的項對應的數據值沒有給出，利用通項公式可以得出n=7時數據值：2*7-1=13。

1. 觀察、推理法

圖 1

圖 2

（1） 例題1

圖1中給出了n=1,2,3時的黑白方塊圖，求第n個圖形中白色和黑色方塊的總和。

分析如下：

先觀察白色方塊，n=1,2,3時白色方塊的數目分别是1、4、9，因為要給出數列通項公式，所以要找出數據與序列号之間的關系，因此把序列号包含進來，可以寫成1*1、2*2、3*3的形式，據此可得出白色方塊的數列通項公式：S1=n*n。

觀察黑色方塊，當n=1,2,3時，對應的分布規律是4、8、12，因為要找出序列号和數據之間的關系，可寫成1*4、2*4、3*4，據此可得出黑色方塊的數列通項公式：S2=n*4

完整的一個圖形中方塊總數是黑色方塊和白色方塊數之和，完整的通項公式為：S=S1 S2=4*n n*n

（2） 例題2

圖2中，第一個圖形有1顆棋子，第二個圖形中有6顆棋子，第三個圖形中有16顆棋子，則第六個圖形中有多少個棋子？

分析如下：

第一個圖形中棋子個數T1=1。

第二個圖形增加了一個由每邊長為2個棋子組成的五邊形，

所以第二個圖形的棋子個數為T2=T1 2*5-5=1 2*5-5

第三個圖形增加了一個由每邊長為3個棋子組成的五邊形，

所以第三個圖形的棋子個數為T3=T1 T2 （3*5-5）=1 （2*5-5） （3*5-5）

以此類推，第六個圖形的棋子個數為：

T6=T1 T2 T3 T4 T5 （6*5-5）=1 （2*5-5） （3*5-5） （4*5-5） （5*5-5） （6*5-5）=1 5 10 15 20 25=76

2. 先運算後觀察

（1） 例題3

3. 簡單運算法

常見的奇數數列公式 2n 1或2n-1，偶數數列公式 2n，都是通過對序号簡單的加、減、乘、除運算得出的，所以叫簡單運算法。

從上面的例子可以看出，很多數列通項公式的最高次幂是2（對于初中來講這已是比較複雜的了），是比較難于通過觀察、歸納和推理來求解的。既然數列也是函數，我們當然可以用函數的思想去解決數列問題，最高次幂是2的通項公式對應的正好是一元二次方程，一元二次方程不僅能解決最高次幂是2的通項公式問題，當然對幂的最高次數是1的通項公式也适用，因此就有了用一元二次方程解決數列通項公式問題的理論基礎。

1. 一元二次方程求解數列通項公式

對于簡單的數列，可以通過觀察、歸納、推理的方法得出通項公式或者某一項的數據，這是因為那些數列都是對序号n進行簡單運算得出的，如果數列通項公式與序号n是二次方關系，則不容易得出規律，求數列n（n的值很大）的某一項數據時，如果不能寫出通項公式，則顯得非常困難和費時。下面我們通過一些例子來展示用一元二次方程求解數列通項公式的方法。

圖3中每一個圖形都是用火柴棍組成的，第1,2個圖形分别用了7根和13根，那麼第11，20個圖形所用的火柴棍數目是多少根？

一般的觀察、歸納、推理法雖然也能得出答案，但是太費時了，如果作為選擇題，過長時間的解題方法顯然是不合适的。

所以第11個、20個圖形所需的火柴棍的個數為别為157和463

方程組雖然需要三組數據，但是解方程非常方便和快速，因為，最後不論是什麼樣的數列，都轉變成求方程組2的形式，方程式等号的左邊總是相同的，隻是等号右邊的數據不同而已，所以方程組1和方程組2可以作為以後求解數列問題的模闆使用。

得出了數列的通項公式，可以寫出任意一項的數據。不用去觀察和推理，具有方法簡單、迅速的優點，注意得出數列公式要進行驗證，以防得出不合适的結論。

下面再來看一個用一元二次方程求解最高次幂是1的通項公式的例子

在本文開頭"一、數列的概念"中的有個簡單數列，見表1，現在我們用一元二次方程來求解它的通項公式。

可見，對于求解最高次幂是1的通項公式同樣适用和方便。

2. 一元二次方程求解數列通項公式與其它方法的對比

· 适用于大部分數列問題

從上面的例子可以看出，一元二次方程解法，不僅能夠解決數列通項公式最高次幂是2的情況，對于最高次幂是1的情況也适用。

· 省去繁瑣的觀察和推理，可以用統一的、模塊化的方法快速解出通項公式。

· 得出的通項公式需要驗證：

因為很多數列可能沒有通項公式，方程式法總會得出一個通項公式，但是這個通項公式不一定是正确的，所以需要驗證，但是由于考試題目的原因，幾乎不會遇到沒有通項公式的情況。

· 一元二次方程法不能用于通項公式最高次幂大于2的情況

對于初中來講，一元二次方程已經是最高次幂的方程了，所以很少有通項公式的最高次幂超過2的，所以一元二次方程法對初中有很強的實用性。

對于最高次幂超過2的通項公式，可以通過列一元三次方程、一元四次方程去解決，總之方程法作為一種通用的求解數列通項公式的方法還是适用的。

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