棣莫弗公式是初等數學的基本内容,如下,我們很容易用基本的運算得出。棣莫弗公式之所以非常有名,在于它得到了數學中許多非常重要的結論,歐拉也将棣莫弗公式的作用發揮的淋漓盡緻,本篇就來談談歐拉是如何從棣莫弗公式推導出歐拉公式的
棣莫弗公式由三角函數組成,所以任意形式的三角函數都可以用棣莫弗公式表示出來,如下正弦函數sinnz和餘弦函數cosnz的表示形式如下圖所示
我們繼續延伸,首先想象下,一個無窮大乘上一個無窮小可以看做一個常數,這是容易理解的,即n為無窮大,z為無窮小時。nz=v就是一個常數,為了直觀我們用i表示無窮大數n
,所以就有了sinz=v/I,cosz=1,這是兩個非常重要的結論,
我們已經知道了e的極限形式,當i是無窮大時,有
所以上式中的z= V√-1和-V√-1,所以上式就可以化簡成
歐拉就由此得到了著名的歐拉公式,這是一個非常偉大的發現
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