一、近地衛星、赤道上物體及同步衛星的運行問題

1．近地衛星、同步衛星、赤道上的物體的比較

2．天體半徑R與衛星軌道半徑r的比較

衛星的軌道半徑r是指衛星繞天體做勻速圓周運動的半徑，與天體半徑R的關系為r＝R＋h(h為衛星距離天體表面的高度)，當衛星貼近天體表面運動(h≈0)時，可認為兩者相等

【示例1】 (多選)如圖，地球赤道上的山丘e、近地資源衛星p和同步通信衛星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動。設e、p、q的圓周運動速率分别為v₁、v₂、v₃，向心加速度分别為a₁、a₂、a₃，則( )

A．v₁＞v₂＞v₃ B．v₁＜v₃＜v₂

C．a₁＞a₂＞a₃ D．a₁＜a₃＜a₂

【示例2】(多選)同步衛星離地心距離為r，運行速率為v₁，加速度為a₁，地球赤道上的物體随地球自轉的向心加速度為a₂，第一宇宙速度為v₂，地球的半徑為R，則下列比值正确的是( )

【示例3】(2016·四川理綜·3)國務院批複，自2016年起将4月24日設立為“中國航天日”.1970年4月24日我國首次成功發射的人造衛星東方紅一号，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發射的東方紅二号衛星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上.設東方紅一号在遠地點的加速度為a₁，東方紅二号的加速度為a₂，固定在地球赤道上的物體随地球自轉的加速度為a₃，則a₁、a₂、a₃的大小關系為( )

A.a₂＞a₁＞a₃ B.a₃＞a₂＞a₁

C.a₃＞a₁＞a₂ D.a₁＞a₂＞a₃

【示例4】．有a、b、c、d四顆地球衛星，a在地球赤道上未發射，b在地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星，各衛星排列位置如圖，則有( )

A．a的向心力由重力提供

B．c在4 h内轉過的圓心角是π/6

C．b在相同時間内轉過的弧長最長

D．d的運動周期有可能是20 h

二 衛星的變軌問題

1．三種情境

2．變軌問題的三點注意

(1)航天器變軌時半徑的變化，根據萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩定在新軌道上的運行速度變化由v＝√(GM)/r判斷。

(2)同一航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。

(3)航天器經過不同軌道相交的同一點時加速度相等，外軌道的速度大于内軌道的速度

【示例5】 (多選)“嫦娥一号”探月衛星繞地運行一段時間後，離開地球飛向月球。如圖所示是繞地飛行的三條軌道，軌道1是近地圓形軌道，軌道2和軌道3是變軌後的橢圓軌道。A點是軌道2的近地點，B點是軌道2的遠地點，衛星在軌道1的運行速率為7.7 km/s，則下列說法中正确的是( )

A．衛星在軌道2經過A點時的速率一定大于7.7 km/s

B．衛星在軌道2經過B點時的速率一定小于7.7 km/s

C．衛星在軌道3所具有的機械能小于在軌道2所具有的機械能

D．衛星在軌道3所具有的最大速率小于在軌道2所具有的最大速率

【示例6】. (2014·山東卷·20)2013年我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程。某航天愛好者提出“玉兔”回家的設想：如圖，将攜帶“玉兔”的返回系統由月球表面發射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運動的飛船對接，然後由飛船送“玉兔”返回地球。設“玉兔”質量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g_月。以月面為零勢能面，“玉兔”在h高度的引力勢能可表示為E_p＝GMmh/(R(R＋h))，其中G為引力常量，M為月球質量。若忽略月球的自轉，從開始發射到對接完成需要對“玉兔”做的功為( )

【示例7】(多選)(2015·課标全國Ⅰ)我國發射的“嫦娥三号”登月探測器靠近月球後，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行；然後經過一系列過程，在離月面4 m高處做一次懸停(可認為是相對于月球靜止)；最後關閉發動機，探測器自由下落。已知探測器的質量約為1.3×10³ kg，地球質量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8 m/s²。則此探測器( )

A．在着陸前的瞬間，速度大小約為8.9 m/s

B．懸停時受到的反沖作用力約為2×10³ N

C．從離開近月圓軌道到着陸這段時間内，機械能守恒

D．在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛星在近地圓軌道上運行的線速度

三　天體的追及相遇問題

兩衛星在同一軌道繞中心天體同向運動，要使後一衛星追上前一衛星，我們稱之為追及問題。兩衛星在不同軌道繞中心天體在同一平面内做勻速圓周運動，當兩星某時相距最近時我們稱之為兩衛星相遇問題。

繞同一中心天體運動的運行天體，由于

故在同一軌道上不可能發生相遇，隻有在不同軌道上的運行天體才能發生追趕現象，相遇時是指運行天體相距最近的現象。　

兩顆衛星在同一軌道平面内同向繞地球做勻速圓周運動，a衛星的角速度為ω_a，b衛星的角速度為ω_b，若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近(如圖甲所示)。當它們轉過的角度之差Δθ＝π，即滿足ω_aΔt－ω_bΔt＝π時，兩衛星第一次相距最遠（如圖乙所示）。

當它們轉過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ω_aΔt－ω_bΔt＝2π時，兩衛星再次相距最近。

經過一定的時間，兩星又會相距最遠和最近。

1. 兩星相距最遠的條件：ω_aΔt－ω_bΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)

2. 兩星相距最近的條件：ω_aΔt－ω_bΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)

3. 常用結論

【典例8】某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如題圖所示。該行星與地球的公轉半徑比為

【示例9】 (多選)(2014·全國卷新課标Ⅰ·19)太陽系各行星幾乎在同一平面内沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”。據報道，2014年各行星沖日時間分别是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示。則下列判斷正确的是( )

A.各地外行星每年都會出現沖日現象

B．在2015年内一定會出現木星沖日

C．天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D．地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

【示例10】如圖所示，兩顆衛星在同一軌道平面内同方向繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，a衛星離地面高度為R，b衛星離地面高度為3R，則a、b兩衛星周期之比為多大？若某時刻兩衛星正好同時通過地面上同一點的正上方，a衛星至少經過多少個周期兩衛星相距最遠？

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