劉永東（廣東省廣州市天河區教育局教研室）

摘要：初中學生在課堂學習中缺乏一個體悟數學思想的深層次的概括學習過程，會導緻其數學解題思維能力不足.文章結合教學實踐，例談教師在教學中如何開展有效的解題方法概括和對學生學習指導概括，闡述立足“四基”的概括，既是一種呈現和提升數學思維的方式，又是一種有效的學法指導方式.

關鍵詞：數學講題；概括活動；學法指導

一、問題與成因

初中學生的數學解題往往存在着四個方面的問題：一是解題思維缺乏經曆一個逐步深入的過程；二是不能獨立地從具體的數學問題中發現或辨認出一般規律，缺乏将規律應用到新問題的解決中；三是不能敏捷地找到解題切入點；四是缺乏通過全面觀題，揭示數學知識間的聯系，以尋求整體解題思路的眼界. 這些問題體現出學生思維能力的不足，這與課堂上學生缺乏過程與方法目标達成的體驗相關，即缺乏創造、批判、溝通、合作的過程體驗，其根源可歸結為學生缺乏一個體悟數學思想的深層次的概括學習過程，這主要是教師在教學中缺乏有效的對解題方法的概括和對學生學習指導的概括.本文就兩個案例與同行交流.

二、案例與概括

1.一題多解的解法概括

對于一題多解的題目，在學生研究完可能的解法後，教師需要引導學生對解法進行串聯概括，把題目各種解法用數學思想統一起來，滲透到學生原有的圖式結構中，進而通過拓展、變化、遷移，以提升學生的思維能力.

另一條直線的位置也相應确定.

教師概括：這些題目均涉及過對稱中心的直線等分四邊形面積，以及全等的旋轉對稱變換，因此解法相似，也正是這個特征，才有第四題把不規則圖形轉化成規則圖形的面積求法.但往往會因圖形特征的特殊性而丢掉用代數式運算表達相鄰兩部分面積相等的方法，這提醒我們，在确定研究對象和研究方法後，要注意關注問題的變化，從它們之間的共性特征出發，避免受兩條直線互相垂直的個性特征影響，導緻鑽牛角尖而無法解決問題. 我們知道，梯形的面積通過作過腰中點的輔助線是可以轉換成平行四邊形的面積，那麼平分梯形面積的一條直線是否也有一定的規律呢？有興趣的學生課後可以研究一下.

三、思考

筆者曾撰文談及教師講題的缺漏，主要在于沒有挖掘題目的内涵，不能把在解題基礎上的概括提升到數學思想的高度.這也反映當今數學教師講題概括時，常常隻關注到對題目的求解過程和題型歸類的淺層次概括，而缺乏對過程方法目标的概括，即從解決特殊問題的方法，到解決一類問題時可用的共同方法，再到數學思想的概括過程的缺乏.

前述案例在概括呈現給學生時，并不是完全照搬解題步驟，而是在串聯方法的同時做适當的列點歸納. 例如，從研究對象、研究方法和關注問題三方面概括，或從題型特征、解題方法和解題步驟三方面提煉呈現解題思維的過程，即分析題型特征、尋求解題思路、設計解題方案、篩選最優解法、正反變式遷移等過程.這樣立足《義務教育數學課程标準（2011年版）》的“四基”，從題型特征進行知識與技能方面的總結，從解題方法上進行過程與方法的總結，在解題步驟上關注核心問題，開展基于知識技能和過程方法目标達成的二元概括.例如，“已知直角三角形一邊長和另兩邊的關系式，求邊長”的題型特征，從知識技能上可利用勾股定理與方程思想相結合進行解答. 在勾股定理的幾百種證法中，有很多源于圖形構造，利用面積關系列式推導得出. 因此，在過程方法概括上，可回歸定理本源，提出用面積法求解.這樣再現解題本源，不僅複原結論的形成過程，而且學會概括一類事物的本質屬性，體現出學生是在有思維含量、有智慧含量、有文化含量的課堂學習.

此外，課堂的概括本身就是開展學法指導，教師通過立足“四基”的有效概括方式呈現思維主線，真正幫助學生不斷構建解題知識結構，積累解題活動經驗，提升數學思維能力.使學生從概括中學會解題反思，學會總結題目之間的聯系，同時學會回歸教材、挖掘教材，在教材中尋找關聯題目進行串聯概括，體悟一種處于數學思想引領下的學習狀态.

參考文獻：

[1]塗榮豹,陳嫣. 數學學習中的概括[J]. 數學教育學報，2004（01）:17-22.

[2]蔡金法. 試論數學概括能力是數學能力的核心[J]. 數學通報，1988（02）:3-6.

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