連續統是一個數學概念。當人們籠統地說：“在實數集裡實數可以連續變動”，也就可以說實數集是個連續統；更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對于離散的概念而言的。在不讨論精确的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某範圍内連續取值，或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上，連續統這一術語至少有兩種精确定義，但并不等價。另外，連續統一詞有時即指實數線或者實數集，這是較舊的叫法；見連續統假設。
連續統是一個擁有多于一個元素的集合，而且滿足如下性質：
有序：任意兩個元素之間可以排序；（實數集的任意兩個數字之間可以排序）
稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素 ；（實數集的任意兩個數字之間存在無窮多個其他的數字）
無洞：有上界的非空子集一定有上确界 實數集即為連續統的例子；實際上它是連續統的原型。
這裡的無洞就是指完備性：
實數集完備性基本定理：确界定理、單調有界原理、區間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊緻性定理。 這六個定理是從不同角度描述了實數集的一個性質：實數集關于極限運算是封閉的，即實數的連續性。它們之間相互等價，均可作為公理。
這裡注意上确界和最大值的區别。
對于下面這個級數，令x=1,則等式左邊是一個無理數，右邊是有理數之和。左邊可以看作是右邊的上确界，也就是說，一個有理數的極限是無理數。如果隻是有理數集合，則這個時候對于右邊的有理數的級數運算來說，結果就是不完備的，因為這個結果變成了無理數，相當于掉進了有理數集合的洞裡面去了。實數集剛好包括有理數和無理數，所以這種情況下就是完備的。
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