女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文的主題是藝術家James Mai的創作過程，以及在《排列：星體》和《排列：人間》(以下簡稱星體和人間)中對數學的探索。雖然這些畫可以用數學來解釋，但藝術家的構思和執行卻不是嚴格的數學；視覺美學和隐喻參照的考慮與邏輯關系相結合。創造過程通常是一個迂回的過程，因為藝術家需要通過圖表來理解視覺上不同的圖形，而不需要借助數學抽象。

Daylene Zielinski提供的使用伯恩賽德定理的數學分析展示了一種有序的方法，可以在這種類型的藝術研究中實施。這個有用的定理可以預先告訴藝術家，他将發現多少不同的形式。然而，重要的是要注意，伯恩賽德定理并沒有說這些形式會是什麼樣子，或者如何找到它們；它隻預測視覺上不同的圖形的最終數量，這些圖形可以在藝術家确定的一套規則下創建。

1. 介紹

藝術家詹姆斯·麥(James Mai)最看重的是作品的完整性。對于Mai來說，這種完整性的價值在本質上既是美學的也是數學的，因為隐喻意義的種子是在數學關系本身中進行的。藝術家提出了一種矛盾的可能性，即一件藝術作品隻有在作為一個完整的整體實現“封閉”時，才可能“打開”聯想和隐喻。這些價值觀促使藝術家在繪畫中進行置換的研究，星光和塵世(圖1a和1b)。雖然程序很大程度上是直觀和歸納的，但每幅畫的目的是在一個變量系統中可視化所有獨特的形狀。在這些繪畫的發展過程中，藝術家不知道伯恩賽德定理，這是一個獨特的定位，有助于這樣的藝術研究，視覺系統是由一個排列結構驅動的，目标是所有可能圖形的完整集合。

圖1a：《排列：星體》，42 x 42”(正方形)，丙烯帆布畫。

圖1b：《排列：人間》，42 x 42英寸(正方形)，丙烯帆布畫。

“星體”和“人間”的最初階段是通過在圖表紙上用鉛筆勾畫的開放式遊戲發展起來的，目的是尋找幾何特征允許系統變化的形狀。這一階段尋求定義形狀的那些基本特征，通過排列，将産生一系列新的和獨特的形狀。在定義了排列特征，尋找了完整的形式系列之後，Mai尋找開始時的無限制遊戲的結束。我們的目标是建立一個客觀相關的形狀系列，它們的特征和關系對獨立的觀察者來說是連貫的和自我揭示的。

雖然星體和人間是同時發展的，但它們最初被認為并不是彼此相關的。最終，每幅畫的發展過程中涉及的排列過程揭示了它們的相似之處，并将它們結合在一起成為一對。從那時起，他們逐漸變得相似，并相互定義。正如我們将看到的，這在很大程度上是因為它們都是伯恩賽德定理的表達式；然而，首先，我們将檢查每幅畫的排列性質。

2. 排列

Astral解決了以下問題:給定一個六邊形的頂點陣列和所有可能的連接它們的邊，有多少視覺上不同的迂回路徑恰好訪問每個頂點一次(除了開始/結束頂點)?請注意，我們将丢棄任何僅僅是另一個形狀的反射或旋轉版本的形狀作為冗餘。在最初的創造性實驗之後，Mai設計了一種符号簡寫法，将數字賦給頂點，以計算出不同的形狀。這就是排列進入畫面的地方。以下是創造性過程的精簡版本。

我們從圖2a中的圖開始。因為每條路徑都會經過每個頂點，所以我們将選擇所有路徑從1開始。現在，任何路徑都可以通過從1開始的數字1到6的排列來命名。路徑1、3、2、4、6、5如圖2B所示。數字1到6有720個排列，但是因為我們總是從一個開始，所以我們實際上隻排列了剩下的五個數字。這将排列的數量減少到120個。由于順時針或逆時針繪制的路徑相同，所以排列1、a、b、c、d、e和1、e、d、c、b、a将産生相同的路徑。現在我們隻有60種排列可供研究。

圖2a：六個頂點和所有可能的邊

圖2b：路徑1、3、2、4、6、5

類似的方法也被用于《人間》。這項調查從一組半圓形和圓形的組合形式(圖3a和3c)發展而來，50年前由俄勒岡、匹茲堡和懷俄明大學的Victor Flach設計，作為“高效的小圖形組合計數裝置”，用于他的四元研究和組合：1、2、3、4的順序組合家庭分組;1、2、4、3;1、3、2、4(包括每組的“圖案圖像名稱、葉、蝙蝠、鳥”，如圖3b所示)。Mai使用圖3c中的圓形為他擴展研究的上、下半圓形路徑和《人間》上的18個數字的矩陣。

圖3a：半圓形。

圖3b：Flach的圖形圖像名稱。

圖3c：圓形

這一次，我們不僅要處理數字1到4的排列，而且還要處理連接每對頂點時采用上路徑還是下路徑的選擇。再次，我們将人為簡化藝術家的創作過程。然後我們将指出上半圓u和下半圓d的數量。所以，我們開始發現問題的數量配置四個符号的集合{1 u, 1 d, 2 u, 2 d, 3 u, 3 d、4 u, 4 d}我們總是先1u的限制或1d和必須包括每一個成對{2 u, 2 d},{3u, 3d}和{4u, 4d}。因此，我們為第一個符号提供了兩個選項，為第二個符号提供了六個選項，為第三個符号提供了四個選項，為第四個符号提供了兩個選項。這就是2 x 6 x 4 x 2，或96，排列。然而，我們再次看到，在開始時，将跟随1u或1d的三個符号的順序颠倒會産生相同的路徑。因此，我們要規定，在任何排列中，第二個符号中的數字都比第四個符号中的數字小。所以我們隻剩下48個配置要調查。有趣的是，每當4u或4d結束一個配置時，我們創建一個具有自然補體的圖形，如圖4a所示；但是，并不是所有的圖形都具有自然的補足，如圖4b所示。

圖4a:圖1d、2u、3u、4u和1d、2u、3u、4d

圖4b:圖1u、2u、4d、3d

3：伯恩賽德定理

在這兩幅畫的準備工作中，Mai 在象征和視覺化之間來回工作，但由于沒有一個可管理的系統方法，他開始擔心自己可能無法識别一組數字是否完整。他預計他對符号化和視覺化的試錯方法會産生許多冗餘，他認識到這些冗餘會從對稱中出現，如旋轉和反射。這就是伯恩賽德定理可以縮短這一過程，并為任何使用旨在生成一組獨特圖形的置換系統的藝術家帶來可預測結果的地方。

每當我們面臨從某種父形式(如圖2a和圖3c)的一組特定類型的變體中找出不同形狀的數目的任務時，我們可以應用伯恩賽德定理。為了讓它的聲明清楚，我們需要一些初步的定義。每個幾何形狀都有一組對稱。這些是固定體形的反射和旋轉。換句話說，如果原來的圖形被它的一個對稱性反射或旋轉，我們就看不出有什麼不同。例如，圖3c中的Mai形式的對稱組是相對簡單的。它由一個垂直反射、一個水平反射、一個180‘旋轉和單位對稱性組成，可以認為是O’旋轉。這些對稱性如圖5所示。

圖5：圖3c的兩個反射和180°旋轉對稱

每一種對稱都會留下一定數量(有時為零)的個體形狀不變，就像它保持父形狀不變一樣。例如，180°的旋轉不僅使圖3c中的父元素不變，而且使圖4b中的形狀也不變。每一種對稱保持不變的一組獨立形狀被稱為該對稱的固定。我們用小寫的希臘字母來命名這些對稱。用這個符号，一個特定對稱φ的固定值是fix(φ)， |fix(φ)|表示該對稱固定的形狀的數量。我們稱父圖形的對稱群為G，設|G|表示G中的對稱數，包括恒等對稱。有了這個，我們現在可以提出伯恩賽德定理。

如果G是父形式S的對稱的有限群，則S的形狀族中視覺上不同的圖形的數目由下式給出：

其中，群G中的每個對稱都取這個和。

換句話說，我們所要做的就是找出我們系列中的形狀有多少是由母體的每個對稱性所固定的。将這些數量相加，然後除以母體的對稱性數量。有興趣的讀者可以在Joseph Gallian的最新版《當代抽象代數》中找到關于伯恩賽德定理的證明和直觀的讨論。

其中兩個對稱性很容易處理。顯然，本體對稱，我們稱之為 "Ro"，它使所有的回路都固定下來，因為它沒有移動任何東西。接下來，我們将處理水平反射，我們稱之為H。這個對稱沒有留下任何回路的固定，因為沒有半圓和它的水平反射出現在同一個回路中。

為了讨論180°旋轉(我們稱之為R180 ),我們需要注意，如果一個回路包含連接1到4的最大半圓，那麼它不會被R180固定。因此，RI80可以固定的唯一回路從1開始移動到2，然後到4，然後到3，再回到1，因為如果3在最後一個符号中，我們不能在第二個符号中有4。R180确定此類路徑的唯一方式是，無論u或d中的哪一個出現在第一個符号中，它的反義詞都會出現在第三個符号中，第二個和第四個符号也會出現同樣的情況，因為這些弧對不僅會相互交換位置，還會颠倒上/下方向。這僅給出了回路1u、2u、4d、3d；1u、2d、4d、3u；1d、2u、4u、3d；和1d、2d、4u、3u。因此，Rl80隻限定了48種排列中的4種。

垂直反射，我們稱之為V，需要更多的思考。我們将把我們的處理分為4是最後一個符号中的數字和3是最後一個符号中的數字的情況。如果4是最後一個符号中的數字，則連接1和4的弧在回路中，連接2和3的弧也在回路中。所有這些弧都由v固定。因此，我們隻需确保圖中剩餘的兩個弧要麼都向上，要麼都向下，因為它們在垂直反射下會彼此交換位置。因此，無論u或d中的哪一個出現在第一個符号中，都必須出現在第三個符号中。因此，我們可以選擇1 u或1 d作為第二個符号，選擇2u、2d、3u或3d作為第二個符号，不能選擇第三個符号，因為第二個符号中未使用的數字2或3必須在第三個符号中，并且u或d必須與第一個符号匹配，最後選擇4u或4d作為最後一個符号。也就是2 x 4 x 1 x 2，即16個以V固定的4結尾的回路。如果最後一個符号中的數字是3，則回路中沒有一個單獨的弧是由V固定的，但有兩對弧交換了位置。所以如果u和d在第一個和第三個，第二個和第四個符号中一緻，回路将由v固定，這是四個額外的回路。因此，V限定了48種排列中的20種。

現在我們準備應用伯恩賽德定理。通過圖3c的視覺上不同的回路的數量是Y4(| fix(Ro)| | fix(H)| | fix(R180)| | fix(v)|)= 1/4(48 0 4 20)= 18。所有18個這些數字可以看到配置在人間的父母數字。可以對星體進行類似的計算，但是由于它的母體圖形的對稱群包含16個對稱，這種計算在本文中将占用太多的空間。不是特别費力，隻是很詳細。

4：美學問題。

當藝術家有了一整套視覺上截然不同的圖形之後，他就可以把所有的精力都放在審美上了。麥的意圖是超越對排列過程的說明或演示，實現某種程度的審美整體性和隐喻聯想。創作過程隻完成了一半，麥的下一步是打造合适的構圖和色彩組織。

Mai使用顔色來加強和編碼每個排列集中的分組。在星體中，十二個不同的圖形排列。根據原始六邊形環上現存的邊數，将它們各自分組：一個形狀有六條外邊；兩條邊有四條邊；三條邊有三條邊；三條邊有兩條邊；兩條邊有一條邊；以及一個形狀沒有任何外邊(這些組請參見圖6a)。每一組在畫中用不同的顔色表示。在人間上，視覺上最重要的分組是12個具有自然補充性的形狀和6個沒有自然補充性的形狀(關于這些組，請參見圖6b)。互補色對由互補色表示。雖然Mai認為顔色·可以澄清其中的一些關系，但他預計構圖組織将在承認分組和互補關系方面發揮更重要的作用。

每幅畫都有多種構圖的可能性。因為在每一組排列中，視覺上不同的圖形的數目，十二個是星體的，十八個是人間的，可以被六整除，所以可以采用六邊形排列。另一方面，由于每一組圖形都有一個母形，它可以被看作是一個原點或矩陣，所有的變化都是從這個原點或矩陣開始的，所以這個母形可以被用作一個圓形構圖的中心。當然，人間是與一個圓聯系在一起的，因為它的母體形式。使情況進一步複雜化的是六邊形或圓形排列中的圖形的不同可能取向。可以排列每組的各個圖形，使得每個圖形都有一條對稱線朝向中心的父圖形。創建放射狀組織；可選地，每組可以排列成使得圖形的對稱軸垂直或水平取向，産生平行的組織(例如，圖6a和6b)。藝術家的問題是沒有明确的選擇出現在這些選項中。

圖6a：根據外部邊緣的數量對星體的不同圖形進行分組。

圖6b：《人間》的六個互補對和六個獨特圖形的分組。

象征性的内容，或主題，在這個階段開始出現，并為構圖問題提供了一個解決方案。對藝術家來說，六邊形的圖形暗示了類似星星的物體或星座，因為連接頂點的直邊和這組圖形中幾個圖形的突出棱角，而半圓形的圖形似乎類似于生物，如鳥、貝殼、魚和蠕蟲。這些畫通過相互對比來定義彼此，這種對比随後為構圖問題提供了答案。作為類似星座的形式，星體的形狀圍繞中心呈放射狀排列，承認天空的全方位秩序。人間上動物般的形式呈現出垂直-水平的方向，由此水平軸将向上和向下的半圓分開，承認了人間領域的地平線，反射對稱線垂直定向，以喚起重力的垂直拉力。此外，人間上的18個圖形被分組和排列，這樣較小，較輕的形狀占據了構圖的頂部，較大，較重的形狀占據了底部，暗示了居住在空氣，土地和水中的動物的動物園。在該有機排列中，12個自然互補序列中的10個垂直排列，2個水平排列。

在這種具象的解釋下，Mai為每幅畫賦予了适合其主題的不同色溫。星體的黃色領域中的淺色和明亮的顔色暗示着陽光下的天空，一個光明和溫暖的領域；人間的藍色領域中的深色和有點暗淡的顔色暗示着水和陸地的陰暗和冷酷的世界，一個進化活動的領域。在 "大地 "中，每個元素的顔色都不一樣，上層形式的顔色較暖，暗示着較輕的、活躍的、生于空氣的生物，下層形式的顔色較冷，讓人想起較重的、較慢的、居住在陸地或水中的生物。星體的黃色大圓圈暗示了天空穹頂的廣闊和連續的地平線；人間的相應藍色圓圈暗示了漂浮在蒼穹中的獨立的生命形式和過程的星球。

5:結論

重要的是要記住，星體和人間的繪畫都是非客觀的。畫中沒有直接描繪的題材，無論是星座還是動物。Mai的策略是讓比喻性的參考自然地從幾何開始的結構中出現，并通過顔色、形狀和構成的抽象關系隐喻性地暗示這些參考，而不是通過圖解的主題。

視覺藝術中的隐喻産生于繪畫内部的色彩和形狀的結構方面與外部經驗世界的某些方面的結構之間的深層對應。要形成這樣的結構對應，就是把原本不相關的事件聯系起來，把以前不完整的經驗整合起來，并在這個過程中揭示新的意義。數學上的考慮對這一過程的重要性不亞于審美考慮和想象聯想；事實上，數字的排列集合本身就是《星體與人間》中美學組織和隐喻解釋的跳闆。伯恩賽德定理對确定排列圖形集合的完備性的适用性為藝術家提供了一個重要的工具，并有望在Mai未來的繪畫中進一步架起藝術和數學的橋梁。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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