一、“一線三等角” 模型定義

兩個相等的角一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側或異側，第三個與之相等的角的頂點在前一組等角的頂點所确定的線段上或線段的延長線上，該角的兩邊分别位于一直線的同側或異側，并與兩等角兩邊相交，就會形成一組相似三角形，習慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角型”相似三角形 .

二、“一線三等角” 模型類型

（1）點 P 在線段 AB 上，則有 △ACP∽△BPD .

①銳角一線三等角

銳角一線三等角模型

②直角一線三等角

直角一線三等角模型

③鈍角一線三等角

鈍角一線三等角模型

（2）點 P 在線段 AB 的延長線上，則有 △ACP∽△BPD .

①銳角一線三等角

銳角一線三等角模型

②直角一線三等角

直角一線三等角模型

③鈍角一線三等角

鈍角一線三等角模型

三、“一線三等角” 模型常出現的題型

1、等腰三角形中，在底邊上作一角與底角相等；

2、等腰梯形中上（下）底作一角與上（下）底角相等；

3、矩形（正方形）；

4、矩形和正方形的翻折（簡稱：一線三直角）；

5、等邊三角形的翻折；

6、坐标系中的一線三直角包括已知相似比求點的坐标或直角三角形的讨論性問題 .

四、典例解析

（一）一線三等角模型 —— 等腰三角形

【例題1】如圖，已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 點 M 是邊 AB 的中點，

點 E 、G 分别是邊 AC 、BC 上的一點，∠EMG = 45°，AC 與 MG 的延長線相交于點 F，

（1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對；

（2）連接 EG，當 AE = 3 時，求 EG 的長 .

解析：

（1）△AEM∽△BMG（一線三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共邊型）.

（2）AE = 3 , CE = 1 ,

由 △AEM∽△BMG 可計算出 BG = 8/3 ， 則 CG = 4/3 .

在 Rt△CEG 中，由勾股定理可得 EG = 5/3 .

另解：

點 M 是 AB 的中點，恰好是 “中點型一線三等角”，

則有 △AEM∽△BMG∽△MEG .

對可解 △AEM 由餘弦定理可計算出 ME = √5 ，

由 △AEM∽△MEG，可得 AE/ME = ME/EG ,

即 3/√5 = √5/EG ,

解得 EG = 5/3 .

（二）一線三等角模型 —— 等腰梯形

【例題2】已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且 AD = 5 , AB = DC = 2 .

（1） 如圖，點 P 為 AD 上的一點，且滿足 ∠BPC = ∠A .

①求證：△ABP∽△DPC；

②求 AP 的長 .

（2）如果點 P 在 AD 邊上移動（點 P 與點 A 、D 不重合），且滿足 ∠BPE = ∠A ，

PE 交直線 BC 于點 E , 同時交直線 DC 于點 Q ，那麼

①當點 Q 在線段 DC 的延長線上時，設 AP = x , CQ = y , 求 y 關于 x 的函數解析式，

并寫出函數的定義域；

②當 CE = 1 時，寫出 AP 的長 .

解析：

（1）

①由等腰梯形同一底上兩個底角相等 三角形内角和及平角（∠APD）等于 180°，

可證 △ABP∽△DPC .

② ∵ △ABP∽△DPC ，

∴ AP/DC = AB/PD ,

∴ AP/2 = 2/（5 - AP），

解得 AP = 1 或 AP = 4 .

（2）

①建立 y 關于 x 的函數解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 則 DQ = 2 = y ,

易證：△ABP∽△DPQ，

∴ AB/PD = AP/DQ ,

即 2/（5 - x）= x/（2 y）,

∴ y = -1/2 x^2 5x/2 - 2 ,

定義域：

由于點 Q 在線段 DC 的延長線上，故 DQ > 2 , 即 y 2 > 2 ,

∴ y = -1/2 x^2 5x/2 - 2 > 0 , 即 1 < x < 4 .

②分類讨論點 E 的位置如下：

1、當點 E 在線段 BC 上時，CE = 1 , 過 C 點作 PQ 的平行線交 AD 于點 H ，

由 △ABP∽△DHC，

∴ AB/DH = AP/DC ,

∴ 2/（5 - 1 - x）= x/2 ,

解得 x = 2 .

2、當點 E 在線段 BC 的延長線上時，CE = 1 , 過點 E 作 CD 的平行線交 AD 的延長線于點 M ，

由 △ABP∽△MPE，

∴ AB/MP = AP/ME ,

∴ 2/（5 1 - x）= x/2 ,

解得 x1 = 3 - √5 , x2 = 3 √5 > 5 （舍去）.

五、小結

1、此次課程展示了相似模型 “一線三等角型” 在初中數學範圍内常見的兩種考題形式；

2、從壓軸題中的複雜圖形提煉出基本圖形、快速靈活運用基本結論、反思、拓展提高，

通過知識間的串聯，找出一些通性通法，來提高解題效率 .

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